Question

（1）已知：等差数列{a_n}的首项a₁，公差d，证明数列前n项和；
（2）已知：等比数列{a_n}的首项a₁，公比q，则证明数列前n项和．

Answer 1

（1）证明：∵S_n=a₁+（a₁+d）+（a₁+2d）+…+[a₁+（n﹣1）d]，
S_n=a_n+（a_n﹣d）+（a_n﹣2d）+…+[a_n﹣（n﹣1）d]，相加可得
2S_n=n（a₁+a_n），
∴S_n=．
再把 a_n=a₁+（n﹣1）d 代入可得
．
（2）证明：当公比q=1时，等比数列{a_n}的所有项都等于a₁，
∴S_n=na₁．
当公比q≠1时，
∵S_n=a₁+a₁q+a₁q²+…+a₁q ^n﹣1，
qS_n=a₁q+a₁q²+a₁q³+…+a₁q ^n﹣1+a₁ qⁿ，
错位相减可得（1﹣q）S_n=a₁﹣a₁qⁿ，
∴S_n==，
．