题目内容
选修4-1几何证明选讲如图，设△ABC的外接圆的切线AE与BC的延长线交于点E，∠BAC的平分线与BC交于点D．
求证：ED2=EC•EB．
分析：由弦切角定理，结合三角形的外角证出∠ADE=∠DAE，从而EA=ED．再由切割线定理，得EA2=EC•EB，结合EA=ED，即可证出ED2=EC•EB．
解答：解：∵AE是圆的切线，
∴∠ABC=∠CAE．
∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAD=∠CAD，
从而∠ABC+∠BAD=∠CAE+∠CAD．
∵∠ADE=∠ABC+∠BAD，∠DAE=∠CAD+∠CAE，
∴∠ADE=∠DAE，得EA=ED．
∵AE是圆的切线，∴由切割线定理，得EA2=EC•EB．
结合EA=ED，得ED2=EC•EB．
∴∠ABC=∠CAE．∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAD=∠CAD，
从而∠ABC+∠BAD=∠CAE+∠CAD．
∵∠ADE=∠ABC+∠BAD，∠DAE=∠CAD+∠CAE，
∴∠ADE=∠DAE，得EA=ED．
∵AE是圆的切线，∴由切割线定理，得EA2=EC•EB．
结合EA=ED，得ED2=EC•EB．
点评：本题主要考查三角形与圆的一些基础知识，如三角形的外接圆、角平分线，圆的切线性质、圆幂定理等．本题属基础题．
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（选修4-1几何证明选讲）
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