题目内容
18．已知数列{an}的各项均为正数，它的前n项和为Sn，满足：Sn=$\frac{1}{6}$（an+1）（an+2），且a2，a4，a9，成等比数列，数列{an}通项公式为an=3n-2．分析 由已知递推式可得（an+an-1）（an-an-1-3）=0，由于数列{an}的各项均为正数，可得an-an-1=3，利用等差数列的通项公式可得：an=3n-2，或an=3n-1．
在验证是否满足a2，a4，a9，成等比数列，即可得出．
解答 解：∵Sn=$\frac{1}{6}$（an+1）（an+2），
∴6Sn=${a}_{n}^{2}+3{a}_{n}+2$，
∴当n=1时，6a1=${a}_{1}^{2}+3{a}_{1}$+2，解得a1=1或2．
当n≥2时，6Sn-6Sn-1=${a}_{n}^{2}+3{a}_{n}+2$-$（{a}_{n-1}^{2}+3{a}_{n-1}+2）$，化为（an+an-1）（an-an-1-3）=0，
∵数列{an}的各项均为正数，
∴an-an-1=3，
∴数列{an}是等差数列，首项为a1，公差为3，
∴an=1+3（n-1）=3n-2，或an=2+3（n-1）=3n-1．
∵a2，a4，a9，成等比数列，
∴${a}_{4}^{2}={a}_{2}{a}_{9}$．
当an=3n-2，时，102=4×25，满足条件；
当an=3n-1，时，112≠5×26，不满足条件．
因此an=3n-2．
故答案为：3n-2．
点评 本题考查了递推式的应用、等差数列与等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
练习册系列答案
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| A． | $\frac{3}{2}$ | B． | 3 | C． | $\sqrt{2}$ | D． | $\sqrt{3}$ |