Question

已知函数f（x）=2（a-1）ln（x-1）+x-（4a-2）lnx，其中实数a为常数．
（Ⅰ）当a=2时，求函数f（x）的单调递减区间；
（Ⅱ）设函数y=f（e^x）有极大值点和极小值点分别为x₁、x₂，且x₂-x₁＞ln2，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（I）先对函数y=f（x）进行求导，然后令导函数大于0（或小于0）求出x的范围，根据f′（x）＞0求得的区间是单调增区间，f′（x）＜0求得的区间是单调减区间，即可得到答案．
（II）由题意可知由题意知，y′=0有两解．下面分类讨论：当2a-1＞2时；当1＜2a-1＜2时；当2a-1=2时，研究其极值点得到b的范围即可．

解答：解：（1）解：当a=2时，f（x）=2ln（x-1）+x-6lnx，∴f′(x)=

2

x-1

+1-

6

x

=

(x-2)(x-3)

x(x-1)

，
又∵x＞0，x-1＞0，∴当2＜x＜3时，f′（x）＜0，∴函数f（x）的单调递减区间为（2，3）．（6分）
（2）∵y=f（e^x）=2（a-1）ln（e^x-1）+e^x-（4a-2）lne^x，∴y′=

2(a-1)ex

ex-1

+ex-(4a-2)=

(ex-2)[ex-(2a-1)]

ex-1

，
由题意知，y′=0有两解．
又e^x-1＞0，∴2a-1＞1，∴a＞1，（9分）
当2a-1＞2时，y=f（e^x）在（0，ln2），（ln（2a-1），+∞）上单调递增，
在（ln2，ln（2a-1））单调递减，∴x₁=ln2，x₂=ln（2a-1），∵x₂-x₁＞ln2，∴a＞

5

2

，（12分）
当1＜2a-1＜2时，y=f（e^x）在（0，ln（2a-1）），（ln2，+∞）上单调递增，在（ln（2a-1），ln2）单调递减，∴x₁=ln（2a-1），x₂=ln2，∵x₂-x₁＞ln2，∴a＜1，舍去，
当2a-1=2时，无极值点，舍去，∴a＞

5

2

．（15分）

点评：本小题主要考查利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的极值等基础知识，考查运算求解能力与转化思想．属于基础题．