题目内容
5.设集合A={(x,y)|y=$\sqrt{4-{x}^{2}}$},B={(x,y)|y=k(x-b)+1},若对任意0≤k≤1都有A∩B≠∅,则实数b的取值范围是1-2$\sqrt{2}$≤b≤3.分析 依题意,可作出集合A与集合B中曲线的图形,依题意,数形结合即可求得实数b的取值范围.
解答 解:∵集合A={(x,y)|y=$\sqrt{4-{x}^{2}}$},B={(x,y)|y=k(x-b)+1},
当0≤k≤1时,都有A∩B≠∅,作图如下:
集合A中的曲线为以(0,0)为圆心,2为半径的上半圆,B中的点的集合为过(b,1)斜率为k的直线上的点,
由图知,当k=0时,显然A∩B≠∅,
当k=1,y=(x-b)+1经过点B(2,0)时,b=3;
当k=1,直线y=(x-b)+1与曲线y=$\sqrt{4-{x}^{2}}$相切与点A时,由圆心(0,0)到该直线的距离d=$\frac{|1-b|}{\sqrt{2}}$=2得:
b=1-2$\sqrt{2}$或b=1+2$\sqrt{2}$(舍).
∵0≤k≤1时,都有A∩B≠∅,
∴实数b的取值范围为:1-2$\sqrt{2}$≤b≤3.
故答案为:1-2$\sqrt{2}$≤b≤3.
点评 本题考查集合关系中的参数取值问题,考查数形结合思想的应用,考查作图与分析运算的能力,属于中档题.
练习册系列答案
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A. | 2<R<8 | B. | 2<R<4 | C. | 4<R<9 | D. | 3<R<7 |