Question

19．已知函数f（x）=ax²-（5a-1）x+3a+1（a∈R）．
（1）若f（x）在区间[1，+∞）上是单调增函数，求a的取值范围；
（2）在（1）的条件下，若函数f（x）在区间[1，5]上有零点，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）通过讨论a=0，a≠0结合二次函数的性质得到关于a的不等式组，求出a的范即可；（2）根据函数的零点定理结合函数的单调性求解即可．

解答 解：（1）a=0时：f（x）=x+1，在[1，+∞）递增，符合题意；
a≠0时：若f（x）在区间[1，+∞）上是单调增函数，
则只需$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{\frac{5a-1}{2a}≤1}\end{array}\right.$即可，解得：0＜a≤$\frac{1}{3}$，
综上：a∈[0，$\frac{1}{3}$]；
（2）a=0时：f（x）=x+1，在区间[1，5]上无零点，不合题意，
a≠0时：即0＜a≤$\frac{1}{7}$时：若函数f（x）在区间[1，5]上有零点，
只需f（1）＜0，f（5）＞0即可，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-（5a-1）+3a+1＜0}\\{25a-5（5a-1）+3a+1＞0}\end{array}\right.$，解得：a＞2，
由（1）得：0＜a≤$\frac{1}{7}$，
故不存在满足条件的a．

点评 本题考查了二次函数的性质，考查函数的单调性问题，函数的零点问题是一道中档题．