题目内容

已知定义在R上的单调函数y=f(x)，当x＜0时，f(x)＞1，且对任意的实数x，y=∈R，有f(x＋y)=f(x)f(y)，

(1)

求f(0)，并写出适合条件的函数f(x)的一个解析式；

(2)

解：数列{an}满足a1=f(0)且，

①求通项公式an的表达式；

②令试比较的大小，并加以证明；

③当a＞1时，不等式对于不小2的正整数n恒成立，求x的取值范围．

答案：
解析：

(1)

解：令y＝0得f(x)[1－f(0)]＝0，则f(0)＝1，适合题意的f(x)的一个解析式是f(x)＝

(2)

解：①由递推关系知

从而

②的大小，只需比较的大小，容易知道

③由题意有<0，又a>1知x>1


练习册系列答案
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15、已知定义在R上的单调函数f（x）满足：存在实数x0，使得对于任意实数x1，x2，总有f（x0x1+x0x2）=f（x0）+f（x1）+f（x2）恒成立，则（i）f（1）+f（0）=
0
（ii）x0的值为
1
．
已知定义在R上的单调函数f（x），存在实数x0，使得对于任意实数x1，x2总有f（x0x1+x0x2）=f（x0）+f（x1）+f（x2）恒成立
（1）求x0的值；
（2）若f（x0）=1，且对任意正整数n，有an=
1
f(n)
，bn=f(
1
2n
)+1，记Sn=a1a2+a2a3+…+anan+1，Tn=b1b2+b2b3+…+bnbn+1，求Sn和Tn；
（3）若不等式an+1+an+2+…+a2n＞
4
35
[log
1
2
(x+1)-log
1
2
(9x2-1)+1]对任意不小于2的正整数n都成立，求x的取值范围．
已知定义在R上的单调函数y=f（x），当x＜0时，f（x）＞1，且对任意的实数x，y∈R，有f（x+y）=f（x）f（y），
（1）求f（0），并写出适合条件的函数f（x）的一个解析式；
（2）数列{an}满足a1=f(0)且f(an+1)=
1
f(-2-an)
(n∈N+)，
①求通项公式an的表达式；
②令bn=(
1
2
)an，Sn=b1+b2+…+bn，Tn=
1
a1a2
+
1
a2a3
+…+
1
anan+1
，试比较Sn与
4
3
Tn的大小，并加以证明；
③当a＞1时，不等式
1
an+1
+
1
an+2
+…+
1
a2n
＞
12
35
(log a+1x-log ax+1)对于不小于2的正整数n恒成立，求x的取值范围．
（2009•黄冈模拟）已知定义在R上的单调函数f（x），存在实数x0，使得对于任意实数x1，x2，总有f（x0x1+x0x2）=f（x0）+f（x1）+f（x2）恒成立．
（1）求x0的值；
（2）若f（x0）=1，且对于任意正整数n，有an=
1
f(n)
，bn=f(
1
2n
)+1，记Sn=a1a2+a2a3+…+anan+1，Tn=b1b2+b2b3+…+bnbn+1，比较
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3
Sn与Tn的大小关系，并给出证明；
（3）在（2）的条件下，若不等式an+1+an+2+…+a2n＞
4
35
[log
1
2
(x+1)-log
1
2
(9x2-1)+1]对任意不小于2的正整数n都成立，求x的取值范围．
（2013•广州三模）已知定义在R上的单调函数f（x），存在实数x0使得对任意实数x1，x2，总有f（x0x1+x0x2）=f（x0）+f（x1）+f（x2）恒成立．
（1）求x0的值；
（2）若f（x0）=1，且对任意的正整数n．有an=
1
f(n)
，bn=f(
1
2n
)+1，记Sn=a1a2+a2a3+…+anan+1，Tn=b1b2+b2b3+…+bnbn+1，比较
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3
Sn与Tn的大小关系，并给出证明．

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