题目内容
已知函数f(x)=x3+(a+1)x2+a(2-a)x+b(a,b∈R).
(1)若函数f(x)的图象过原点,且在原点处的切线斜率是-3,求a,b的值;
(2)若函数f(x)在区间(-1,1)上不单调,求a的取值范围.
(1)若函数f(x)的图象过原点,且在原点处的切线斜率是-3,求a,b的值;
(2)若函数f(x)在区间(-1,1)上不单调,求a的取值范围.
分析:(1)先求导数:f′(x)=3x2+2(1-a)x-a(a+2),再利用导数求出在x=-1处的导函数值,再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率.列出关于a,b等式解之,从而问题解决.
(2)根据题中条件:“函数f(x)在区间(-1,1)不单调,”等价于“导函数f′(x)在(-1,1)既能取到大于0的实数,又能取到小于0的实数”,由于导函数是一个二次函数,有两个根,故问题可以转化为到少有一根在在区间(-1,1)内,先求两根,再由以上关系得到参数的不等式,解出两个不等式的解集,求其并集即可;
(2)根据题中条件:“函数f(x)在区间(-1,1)不单调,”等价于“导函数f′(x)在(-1,1)既能取到大于0的实数,又能取到小于0的实数”,由于导函数是一个二次函数,有两个根,故问题可以转化为到少有一根在在区间(-1,1)内,先求两根,再由以上关系得到参数的不等式,解出两个不等式的解集,求其并集即可;
解答:解:(1)由题意得f′(x)=3x2+2(1-a)x-a(a+2)
又
,
解得b=0,a=-3或a=1;
(2)函数f(x)在区间(-1,1)不单调,等价于
导函数f'(x)[是二次函数],在(-1,1有实数根但无重根.
∵f'(x)=3x2+2(1-a)x-a(a+2)=(x-a)[3x+(a+2)],
令f'(x)=0得两根分别为x=a与x=-
,
若a=-
,即a=-
时,此时导数恒大于等于0,不符合题意,
当两者不相等时即a≠-
时,
有a∈(-1,1)或者-
∈(-1,1),
解得a∈(-5,1)且a≠-
.
综上得参数a的取值范围是(-5,-
)∪(-
,1).
又
|
解得b=0,a=-3或a=1;
(2)函数f(x)在区间(-1,1)不单调,等价于
导函数f'(x)[是二次函数],在(-1,1有实数根但无重根.
∵f'(x)=3x2+2(1-a)x-a(a+2)=(x-a)[3x+(a+2)],
令f'(x)=0得两根分别为x=a与x=-
a+2 |
3 |
若a=-
a+2 |
3 |
1 |
2 |
当两者不相等时即a≠-
1 |
2 |
有a∈(-1,1)或者-
a+2 |
3 |
解得a∈(-5,1)且a≠-
1 |
2 |
综上得参数a的取值范围是(-5,-
1 |
2 |
1 |
2 |
点评:本小题主要考查函数单调性的应用、函数奇偶性的应用、不等式的解法等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想.

练习册系列答案
相关题目

π |
2 |
A、f(x)=2sin(πx+
| ||
B、f(x)=2sin(2πx+
| ||
C、f(x)=2sin(πx+
| ||
D、f(x)=2sin(2πx+
|