Question

已知函数f（x）=x³+（a+1）x²+a（2-a）x+b（a，b∈R）．
（1）若函数f（x）的图象过原点，且在原点处的切线斜率是-3，求a，b的值；
（2）若函数f（x）在区间（-1，1）上不单调，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先求导数：f′（x）=3x²+2（1-a）x-a（a+2），再利用导数求出在x=-1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．列出关于a，b等式解之，从而问题解决．
（2）根据题中条件：“函数f（x）在区间（-1，1）不单调，”等价于“导函数f′（x）在（-1，1）既能取到大于0的实数，又能取到小于0的实数”，由于导函数是一个二次函数，有两个根，故问题可以转化为到少有一根在在区间（-1，1）内，先求两根，再由以上关系得到参数的不等式，解出两个不等式的解集，求其并集即可；

解答：解：（1）由题意得f′（x）=3x²+2（1-a）x-a（a+2）
又

f(0)=b=0 f′(0)=-a(a+2)=-3

，
解得b=0，a=-3或a=1；
（2）函数f（x）在区间（-1，1）不单调，等价于
导函数f'（x）[是二次函数]，在（-1，1有实数根但无重根．
∵f'（x）=3x²+2（1-a）x-a（a+2）=（x-a）[3x+（a+2）]，
令f'（x）=0得两根分别为x=a与x=-

a+2

3

，
若a=-

a+2

3

，即a=-

1

2

时，此时导数恒大于等于0，不符合题意，
当两者不相等时即a≠-

1

2

时，
有a∈（-1，1）或者-

a+2

3

∈（-1，1），
解得a∈（-5，1）且a≠-

1

2

．
综上得参数a的取值范围是（-5，-

1

2

）∪（-

1

2

，1）．

点评：本小题主要考查函数单调性的应用、函数奇偶性的应用、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．