题目内容
已知动点M到两个定点F1(-3,0),F2(3,0)的距离之和为10,A、B是动点M轨迹C上的任意两点.(1)求动点M的轨迹C的方程;
(2)若原点O满足条件
AO |
OB |
分析:(1)由题意可知点M的轨迹是以F1、F2为焦点的椭圆,其中a=5,c=3,b=
=4,由此能够推导出点M的轨迹方程.
(2)设A(x0,y0),B(-x0,-y0).设P(5cosθ,4sinθ),kPA=
,kPB=
=
,kPA•kPB=
.A在椭圆上,
+
=1,y02=16(1-
),由此能够推导出kPA•kPB为定值-
.
a2-c2 |
(2)设A(x0,y0),B(-x0,-y0).设P(5cosθ,4sinθ),kPA=
y0-4sinθ |
x0-5cosθ |
-y0-4sinθ |
-x0-5cosθ |
y0+4sinθ |
x0+5cosθ |
y02-16sin2θ |
x02-25cos2θ |
x02 |
25 |
y02 |
16 |
x02 |
25 |
16 |
25 |
解答:解:(1)设点M的坐标为(x,y),
∵|MF1|+|MF2|=10>|F1F2|=6,
∴点M的轨迹是以F1、F2为焦点的椭圆,
其中a=5,c=3,b=
=4,
故点M的轨迹方程为
+
=1,
(2)设A(x0,y0),当
=λ
时,
必有点A、B关于原点O对称,
∴B(-x0,-y0).
设P(5cosθ,4sinθ),
则kPA=
,kPB=
=
,
∴kPA•kPB=
.
∵A在椭圆上,∴
+
=1,∴y02=16(1-
),
∴kPA•kPB=
=-
,
∴kPA•kPB为定值-
.
∵|MF1|+|MF2|=10>|F1F2|=6,
∴点M的轨迹是以F1、F2为焦点的椭圆,
其中a=5,c=3,b=
a2-c2 |
故点M的轨迹方程为
x2 |
25 |
y2 |
16 |
(2)设A(x0,y0),当
AO |
OB |
必有点A、B关于原点O对称,
∴B(-x0,-y0).
设P(5cosθ,4sinθ),
则kPA=
y0-4sinθ |
x0-5cosθ |
-y0-4sinθ |
-x0-5cosθ |
y0+4sinθ |
x0+5cosθ |
∴kPA•kPB=
y02-16sin2θ |
x02-25cos2θ |
∵A在椭圆上,∴
x02 |
25 |
y02 |
16 |
x02 |
25 |
∴kPA•kPB=
16(1-
| ||
x02-25cos2θ |
16 |
25 |
∴kPA•kPB为定值-
16 |
25 |
点评:本题综合考查椭圆的性质及其应用和直线与椭圆的位置关系,难度较大,解题时要认真审题,仔细解答,避免出现不必要的错误.

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