题目内容

已知动点M到两个定点F1(-3,0),F2(3,0)的距离之和为10,A、B是动点M轨迹C上的任意两点.
(1)求动点M的轨迹C的方程;
(2)若原点O满足条件
AO
OB
,点P是C上不与A、B重合的一点,如果PA、PB的斜率都存在,问kPA•kPB是否为定值?若是,求出其值;若不是,请说明理由.
分析:(1)由题意可知点M的轨迹是以F1、F2为焦点的椭圆,其中a=5,c=3,b=
a2-c2
=4
,由此能够推导出点M的轨迹方程.
(2)设A(x0,y0),B(-x0,-y0).设P(5cosθ,4sinθ),kPA=
y0-4sinθ
x0-5cosθ
kPB=
-y0-4sinθ
-x0-5cosθ
=
y0+4sinθ
x0+5cosθ
kPAkPB=
y02-16sin2θ
x02-25cos2θ
.A在椭圆上,
x02
25
+
y02
16
=1
y02=16(1-
x02
25
)
,由此能够推导出kPA•kPB为定值-
16
25
解答:解:(1)设点M的坐标为(x,y),
∵|MF1|+|MF2|=10>|F1F2|=6,
∴点M的轨迹是以F1、F2为焦点的椭圆,
其中a=5,c=3,b=
a2-c2
=4

故点M的轨迹方程为
x2
25
+
y2
16
=1

(2)设A(x0,y0),当
AO
OB
时,
必有点A、B关于原点O对称,
∴B(-x0,-y0).
设P(5cosθ,4sinθ),
kPA=
y0-4sinθ
x0-5cosθ
kPB=
-y0-4sinθ
-x0-5cosθ
=
y0+4sinθ
x0+5cosθ

kPAkPB=
y02-16sin2θ
x02-25cos2θ

∵A在椭圆上,∴
x02
25
+
y02
16
=1
,∴y02=16(1-
x02
25
)

kPAkPB=
16(1-
x02
25
)
x02-25cos2θ
=-
16
25

∴kPA•kPB为定值-
16
25
点评:本题综合考查椭圆的性质及其应用和直线与椭圆的位置关系,难度较大,解题时要认真审题,仔细解答,避免出现不必要的错误.
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