Question

3．已知函数f（x）=x²-（2m+6）x+m+4．
（Ⅰ）若对于任意m∈[-1，1]，f（x）＞0恒成立，求实数x的取值范围；
（Ⅱ）若对于任意x∈[-1，1]，f（x）≥0恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意可得g（m）=（1-2x）m+x²-6x+4＞0在[-1，1]上恒成立，即有g（-1）＞0，且g（1）＞0，解不等式可得x的范围；
（Ⅱ）由题意可得f_min（x）≥0．又函数f（x）的图象的对称轴为x=m+3，讨论区间[-1，1]与对称轴的关系，运用单调性，求得最小值，解不等式即可得到m的范围．

解答 解：（Ⅰ）若对于任意m∈[-1，1]，f（x）＞0恒成立，
等价于g（m）=（1-2x）m+x²-6x+4，
∴$\left\{{\begin{array}{l}{g（-1）=-1+2x+{x^2}-6x+4={x^2}-4x+3＞0}\\{g（1）=1-2x+{x^2}-6x+4={x^2}-8x+5＞0}\end{array}}\right.$，
可得  $x＜4-\sqrt{11}$或$x＞4+\sqrt{11}$，
即实数x的取值范围$\left\{{x\left|{x＜4-\sqrt{11}}\right.或x＞4+\sqrt{11}}\right\}$．
（Ⅱ）由于对任意x∈[-1，1]，f（x）≥0恒成立，故f_min（x）≥0．
又函数f（x）的图象的对称轴为x=m+3，
①当m+3≤-1，即m≤-4时，f_min（x）=f（-1）=1+2m+6+m+4≥0，
解得$m≥-\frac{11}{3}$，此时求得m无解；
②当-1＜m+3＜1，即-4＜m＜-2时，${f_{min}}（x）=f（m+3）=-{m^2}-5m-5≥0$，
解得$\frac{{-5-\sqrt{5}}}{2}≤m≤\frac{{-5+\sqrt{5}}}{2}$，此时$-4＜m≤\frac{{-5+\sqrt{5}}}{2}$；
③当m+3≥1，即m≥-2时，f_min（x）=f（1）=1-2m-6+m+4≥0，
解得m≤-1，此时-2≤m≤-1，
综上可得实数m的取值范围为{m|-4＜m≤-1}．

点评 本题考查函数恒成立问题的解法，注意主元的运用，考查函数的单调性的运用，考查运算能力，属于中档题和易错题．