Question

用数学归纳法证明：

12

1•3

+

22

3•5

+…+

n2

(2n-1)(2n+1)

=

n(n+1)

2(2n+1)

(n∈N*)．

Answer 1

分析：本题考查的知识点是数学归纳法，根据数学归纳的步骤，我们要先论证n=1时，

12

1•3

+

22

3•5

+…+

n2

(2n-1)(2n+1)

=

n(n+1)

2(2n+1)

(n∈N*)成立，再假设n=k时

12

1•3

+

22

3•5

+…+

n2

(2n-1)(2n+1)

=

n(n+1)

2(2n+1)

(n∈N*)也成立，并由此证明n=k+1时，

12

1•3

+

22

3•5

+…+

n2

(2n-1)(2n+1)

=

n(n+1)

2(2n+1)

(n∈N*)也成立，最后得到

12

1•3

+

22

3•5

+…+

n2

(2n-1)(2n+1)

=

n(n+1)

2(2n+1)

(n∈N*)恒成立．

解答：证明（1）n=1时，
左边

12

(2×1-1)(2×1+1)

=

1

3

=

1×(1+1)

2(2×1+1)

=右边，等式成立
（2）假设n=k时等式成立，
即

12

1•3

+

22

3•5

++

k2

(2k-1)(2k+1)

=

k(k+1)

2(2k+1)

.
则n=k+1时，
左边=

k(k+1)

2(2k+1)

+

(k+1)2

(2k+1)(2k+3)

=

k-1

2(2k+1)

(k+

2k+2

2k+3

)
=

k+1

2(2k+1)

•

2k2+5k+2

2k+3

=

k+1

2(2k+1)

•

(2k+1)(k+2)

2k+3

=

(k+1)(k+2)

2(2k+3)

.
∴n=k+1时，等式成立
由（1）（2）知，对一切n∈N*，

12

1•3

+

22

3•5

++

n2

(2n-1)(2n+1)

=

n(n+1)

2(2n+1)

.

点评：数学归纳法常常用来证明一个与自然数集N相关的性质，其步骤为：设P（n）是关于自然数n的命题，若1）（奠基） P（n）在n=1时成立；2）（归纳） 在P（k）（k为任意自然数）成立的假设下可以推出P（k+1）成立，则P（n）对一切自然数n都成立．