Question

已知a＞0，且a≠1，数列{a_n}的前n项和为S_n，它满足条件

an-1

Sn

=1-

1

a

．数列{b_n}中，b_n=a_n•lga_n．
（1）求数列{b_n}的前n项和T_n；
（2）若对一切n∈N^*都有b_n＜b_n+1，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由题意知，a₁=a，

an-1

Sn

=1-

1

a

转化为：Sn=

a

a-1

(an-1) ①，Sn-1=

a

a-1

(an-1-1) ②，①-②，得

an

an-1

=a，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（2）由b_n=a_n•lga_n，知b_n=naⁿlga，当对一切n∈N₊，都有b_n＜b_n-1，即有naⁿlga＜（n+1）a^n-1lga，由此进行分类讨论，能够得到a的取值范围．

解答：解：（1）由题意知，当n=1时，a₁=a，
当n≥2时，Sn=

a

a-1

(an-1) ①，Sn-1=

a

a-1

(an-1-1) ②，
①-②，得

an

an-1

=a，
∴数列{a_n}是等比数列，
∴a_n=aⁿ（n∈N⁺）．
（2）∵b_n=a_n•lga_n，
∴b_n=naⁿlga，
当对一切n∈N₊，都有b_n＜b_n-1，
即有naⁿlga＜（n+1）a^n-1lga，
当lga＞0，即a＞1时，a＞

n

n+1

对一切n∈N₊都成立，∴a＞1．
当lga＜0，即0时，有 a＜

n

n+1

对一切n∈N₊都成立，∴0＜a＜

1

2

．
综上所述a＞1或 0＜a＜

1

2

．

点评：本题考查数列的通项公式和数列与不等式的综合运用，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．