Question

已知函数f（x）=ln（1+x²）+（m-2）x（m≤2）
（1）若f（x）在x=0处取得极值，求m的值；
（2）讨论f（x）的单调性；
（3）记a_n=ln（1+

1

32n

），且数列{a_n}前n项和为S_n，求证：S_n＜

1

2

．

Answer 1

分析：（1）利用f′（0）=0，解得m，再验证即可；
（2））f′(x)=

(m-2)x2+2x+(m-2)

1+x2

．△=4（m-1）（3-m）．分以下几种情况讨论：
   ①若m=2时，②若 

m＜2 △≤0

时，当m≤1时，③若1＜m＜2时，
（3）由（2）知，m=1时，f（x）在R上单调递减．当x∈（0，+∞），由f（x）＜f（0）=0．可得ln（1+x²）＜x，对x取值，再利用等比数列的前n项和公式即可得出．

解答：解：（1）f′（x）=

2x

1+x2

+m-2，
∵x=0是f（x）的一个极值点，∴f′（0）=0，解得m=2，
验证知m=2符合条件．
（2）∵f′(x)=

(m-2)x2+2x+(m-2)

1+x2

．△=4（m-1）（3-m）．
   ①若m=2时，f′(x)=

2x

1+x2

．
∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，在（-∞，0）单调递减；
②若 

m＜2 △≤0

时，
当m≤1时，f′（x）≤0，
∴f（x）在R上单调递减．               
③若1＜m＜2时，f′（x）=0有两根，x1=

-1- △

m-2

，x2=

-1+ △

m-2

．
∴f（x）在（x₁，x₂）上单调减；在（-∞，x₁）和（x₂，+∞）上单调增．
综上所述，若m≤1时，f（x）在R上单调递减；
若m=2时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，在（-∞，0）单调递减；
若1＜m＜2时，f（x）在（x₁，x₂）上单调减；在（-∞，x₁）和（x₂，+∞）上单调增．
（3）由（2）知，m=1时，∴f（x）在R上单调递减．
当x∈（0，+∞），由f（x）＜f（0）=0．
∴ln（1+x²）＜x，
∴S_n=ln(1+

1

32

)+ln(1+

1

34

)+…+ln(1+

1

32n

)＜

1

3

+

1

32

+…+

1

3n

=

1 3 (1- 1 3n )

1- 1 3

=

1

2

(1-

1

3n

)＜

1

2

．

点评：熟练掌握利用导数研究函数的单调性与极值、分类讨论的思想方法、等比数列的前n项和公式等是解题的关键．