题目内容
（2012•湖南模拟）已知向量
=(2sinx，
cosx)，
=(-sinx，2sinx)，函数f(x)=
•
（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且f（C）=1，c=1，ab=2
，且a＞b，求a，b的值．
| a |
| 3 |
| b |
| a |
| b |
（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且f（C）=1，c=1，ab=2
| 3 |
分析：（Ⅰ）由题意结合数量积的定义可得f（x）的解析式，由整天法可求单调区间；
（Ⅱ）由（Ⅰ）和条件可得f(C)=2sin(2C+
)-1=1（2C+
）=1，进而可得C=
，结合余弦定理和ab=2
结合可解答案．
（Ⅱ）由（Ⅰ）和条件可得f(C)=2sin(2C+
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| 3 |
解答：解：（Ⅰ）由题意可得：f(x)=-2sin2x+2
sinxcosx=
-1+cos2x+2
sinxcosx=
sin2x+cos2x-1=2sin(2x+
)-1（3分）
由2kπ-
≤2x+
≤2kπ+
(k∈Z)，
得kπ-
≤x≤kπ+
(k∈Z)．（5分）
所以f（x）的单调增区间是[kπ-
，kπ+
](k∈Z)．（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）和条件可得f(C)=2sin(2C+
)-1=1（2C+
）=1
∵C是三角形内角，∴2C+
=
，即C=
，（7分）
∴cosC=
=
，即a2+b2=7． （9分）
将ab=2
代入可得a2+
=7，解之得：a2=3或4，
∴a=
或2，∴b=2或
，（11分）
∵a＞b，∴a=2，b=
． （12分）
| 3 |
-1+cos2x+2
| 3 |
| 3 |
| π |
| 6 |
由2kπ-
| π |
| 2 |
| π |
| 6 |
| π |
| 2 |
得kπ-
| π |
| 3 |
| π |
| 6 |
所以f（x）的单调增区间是[kπ-
| π |
| 3 |
| π |
| 6 |
（Ⅱ）由（Ⅰ）和条件可得f(C)=2sin(2C+
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
∵C是三角形内角，∴2C+
| π |
| 6 |
| π |
| 2 |
| π |
| 6 |
∴cosC=
| b2+a2-c2 |
| 2ab |
| ||
| 2 |
将ab=2
| 3 |
| 12 |
| a2 |
∴a=
| 3 |
| 3 |
∵a＞b，∴a=2，b=
| 3 |
点评：本题为三角函数和解三角形的综合应用，涉及余弦定理，属中档题．
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