Question

4．在二项式${（{\root{3}{x}-\frac{1}{2x}}）^{\;n}}$的展开式中，恰好第五项的二项式系数最大．
（1）求展开式中各项的系数和；
（2）求展开式中的有理项．

Answer 1

分析 （1）在展开式中，由恰好第五项的二项式系数最大，则展开式有9项，可得n=8．在二项式${（{\root{3}{x}-\frac{1}{2x}}）^{\;8}}$中，令x=1，求得展开式中各项的系数和．
（2）再二项式${（{\root{3}{x}-\frac{1}{2x}}）^{\;n}}$的展开式的通项公式中，令x的幂指数$\frac{8-4r}{3}$为整数，求得r的值，可得展开式中的有理项．

解答 解：（1）在展开式中，恰好第五项的二项式系数最大，则展开式有9项，∴n=8．
在二项式${（{\root{3}{x}-\frac{1}{2x}}）^{\;8}}$中，令x=1，展开式中各项的系数和为${（{1-\frac{1}{2}}）^8}=\frac{1}{256}$．  
（2）二项式${（{\root{3}{x}-\frac{1}{2x}}）^{\;n}}$的展开式的通项公式为　${T_{r+1}}=C_{\;8}^{\;r}{（\root{3}{x}）^{8-r}}{（-\frac{1}{2x}）^r}={（-\frac{1}{2}）^r}C_8^r{x^{\frac{8-4r}{3}}}$，r=0，1，2，…，8．
当$\frac{8-4r}{3}$为整数，即r=2，5，8时，展开式是有理项，有理项为第3、6、9项，
即${T_3}={（{-\frac{1}{2}}）^2}•C_8^2•{x^0}=7$；${T_6}={（{-\frac{1}{2}}）^5}•C_8^5•{x^{-4}}=-\frac{7}{4}{x^{-4}}$；${T_9}={（{-\frac{1}{2}}）^8}•C_8^8•{x^{-8}}=-\frac{1}{264}{x^{-8}}$．

点评 本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于基础题．