Question

已知双曲线G的中心在原点，它的渐近线与圆x2＋y2－10x＋20＝0相切．过点P(－4，0)作斜率为的直线l，使得l和G交于A，B两点，和y轴交于点C，并且点P在线段AB上，又满足|PA|·|PB|＝|PC|2．

(1)求双曲线G的渐近线的方程；

(2)求双曲线G的方程；

(3)椭圆S的中心在原点，它的短轴是G的实轴．如果S中垂直于l的平行弦的中点的轨迹恰好是G的渐近线截在S内的部分AB，若P(x，y)(y＞0)为椭圆上一点，求当△ABP的面积最大时点P的坐标．

Answer 1

答案：
解析：

(1)设双曲线G的渐近线的方程为y＝kx， 　　则由渐近线与圆x2＋y2－10x＋20＝0相切可得＝， 　　所以k＝±，即双曲线G的渐近线的方程为y＝±x． 　　(2)由(1)可设双曲线G的方程为x2－4y2＝m， 　　把直线的方程y＝(x＋4)代入双曲线方程， 　　整理得3x2－8x－16－4m＝0， 　　则xA＋xB＝，xAxB＝－．(*) 　　∵|PA|·|PB|＝|PC|2，P、A、B、C共线且P在线段AB上， 　　∴(xP－xA)(xB－xP)＝(xP－xC)2，即(xB＋4)(－4－xA)＝16， 　　整理得4(xA＋xB)＋xAxB＋32＝0．将(*)代入上式得m＝28， 　　∴双曲线的方程为－＝1． (3)由题可设椭圆S的方程为＋＝1(a＞2)， 设垂直于的平行弦的两端点分别为M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中点为P(x0，y0)， 　　则＋＝1，＋＝1， 　　两式作差得＝0． 　　由于＝－4，x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0，所以－＝0， 　　所以，垂直于的平行弦中点的轨迹为直线－＝0截在椭圆S内的部分． 　　又由已知，这个轨迹恰好是G的渐近线截在S内的部分，所以＝，即a2＝56， 　　故椭圆S的方程为＋＝1． 　　由题意知满足条件的P点必为平行于AB且与椭圆相切的直线m在椭圆上的切点， 　　易得切线m的方程为，解得切点坐标， 　　则P点的坐标为