题目内容

已知边长都为1的正方形ABCD与DCFE所在的平面互相垂直,点P,Q分别是线段BC,DE上的动点(包括端点),PQ=
2
.设线段PQ中点的轨迹为l,则l的长度为(  )
A、2
B、
2
2
C、
π
2
D、
π
4
考点:轨迹方程
专题:综合题,空间位置关系与距离
分析:由题意作出图形,建立空间直角坐标系,设出P、Q、M的坐标,由中点坐标公式把P、Q的坐标用M的坐标表示,然后利用PQ=
2
列式,求出PQ中点的轨迹为四分之一圆周,则l的长度可求.
解答:解:如图,

以DA、DC、DE所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系,
设P(m,1,0)(0≤m≤1),Q(0,0,n)(0≤n≤1),M(x,y,z),
则由中点坐标公式得:x=
m
2
,y=
1
2
,z=
n
2

∴m=2x,n=2z ①,
∵|PQ|=
m2+n2+1
=
2

∴m2+n2=1 ②,
把①代入②得,4x2+4z2=1.
x2+z2=
1
4

∵0≤m≤1,0≤n≤1,
0≤x≤
1
2
,0≤y≤
1
2

∴PQ中点M的轨迹方程为
x2+z2=
1
4
(0≤x≤
1
2
,0≤z≤
1
2
)
y=
1
2

轨迹l为在垂直于y轴的平面内,半径为
1
2
的四分之一圆周.
∴l的长度为
1
4
×2π×
1
2
=
π
4

故选:D.
点评:本题考查了轨迹方程,训练了利用空间坐标系求解动点的轨迹,体现了参数思想在解题中的应用,考查了学生的空间想象能力,属难题.
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