题目内容
已知边长都为1的正方形ABCD与DCFE所在的平面互相垂直,点P,Q分别是线段BC,DE上的动点(包括端点),PQ=
.设线段PQ中点的轨迹为l,则l的长度为( )
2 |
A、2 | ||||
B、
| ||||
C、
| ||||
D、
|
考点:轨迹方程
专题:综合题,空间位置关系与距离
分析:由题意作出图形,建立空间直角坐标系,设出P、Q、M的坐标,由中点坐标公式把P、Q的坐标用M的坐标表示,然后利用PQ=
列式,求出PQ中点的轨迹为四分之一圆周,则l的长度可求.
2 |
解答:解:如图,

以DA、DC、DE所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系,
设P(m,1,0)(0≤m≤1),Q(0,0,n)(0≤n≤1),M(x,y,z),
则由中点坐标公式得:x=
,y=
,z=
.
∴m=2x,n=2z ①,
∵|PQ|=
=
,
∴m2+n2=1 ②,
把①代入②得,4x2+4z2=1.
即x2+z2=
.
∵0≤m≤1,0≤n≤1,
∴0≤x≤
,0≤y≤
.
∴PQ中点M的轨迹方程为
.
轨迹l为在垂直于y轴的平面内,半径为
的四分之一圆周.
∴l的长度为
×2π×
=
.
故选:D.

以DA、DC、DE所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系,
设P(m,1,0)(0≤m≤1),Q(0,0,n)(0≤n≤1),M(x,y,z),
则由中点坐标公式得:x=
m |
2 |
1 |
2 |
n |
2 |
∴m=2x,n=2z ①,
∵|PQ|=
m2+n2+1 |
2 |
∴m2+n2=1 ②,
把①代入②得,4x2+4z2=1.
即x2+z2=
1 |
4 |
∵0≤m≤1,0≤n≤1,
∴0≤x≤
1 |
2 |
1 |
2 |
∴PQ中点M的轨迹方程为
|
轨迹l为在垂直于y轴的平面内,半径为
1 |
2 |
∴l的长度为
1 |
4 |
1 |
2 |
π |
4 |
故选:D.
点评:本题考查了轨迹方程,训练了利用空间坐标系求解动点的轨迹,体现了参数思想在解题中的应用,考查了学生的空间想象能力,属难题.

练习册系列答案
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已知a,b表示两条直线,M表示平面,给出下列四个命题:
①若a∥M,b∥M,则a∥b;
②若b?M,a?M,a∥b,则a∥M;
③若a⊥b,b?M,则a⊥M;
④若a⊥M,a⊥b,则b∥M,
其中正确命题的个数为( )
①若a∥M,b∥M,则a∥b;
②若b?M,a?M,a∥b,则a∥M;
③若a⊥b,b?M,则a⊥M;
④若a⊥M,a⊥b,则b∥M,
其中正确命题的个数为( )
A、0 | B、1 | C、2 | D、3 |
过点(1,1)的直线与圆x2+y2-4x-6y+4=0相交于A,B两点,则|AB|的最小值为( )
A、2
| ||
B、4 | ||
C、2
| ||
D、5 |
点P(2+n,2,2-n)到坐标平面XOY的距离是( )
A、2 | B、2+n | C、6 | D、|2-n| |
某算法程序框图如图所示,若a=
,b=3
,c=log23,则输出的结果是( )

3 |
2 |
1 |
3 |

A、
| ||
B、a | ||
C、b | ||
D、c |