题目内容

已知数列｛bn｝是等差数列，b1=1，b1+b2+…+b10=145.

（Ⅰ）求数列｛bn｝的通项bn；

（Ⅱ）设数列｛an｝的通项an=loga（1+）（其中a＞0，且a≠1），记Sn是数列｛an｝的前n项和.试比较Sn与logabn+1的大小，并证明你的结论.

 

答案：
解析：

解：（Ⅰ）设数列｛bn｝的公差为d，由题意得

解得    ∴bn＝3n－2

（Ⅱ）由Sn＝3n－2知

因此要比较Sn与logabn＋1的大小，可先比较（1＋1）（1＋）…（1＋）与的大小.

取n=1，有（1＋1）＞

取n=2，有（1＋1）（1＋）＞，

……

由此推测（1＋1）（1＋）……（1＋）＞       ①

若①式成立，则由对数函数性质可断定：

当a＞1时，Sn＞logabn+1

当0＜a＜1时，Sn＜logabn+1.

下面用数学归纳法证明①式.

（i）当n=1时已验证①式成立.

（ii）假设当n=k（k≥1）时，①式成立，

即（1+1）（1+）…….

那么，当n=k+1时，

（1+1）（1+）……（1+）·［1+］＞（1+）

=（3k+2）

∵

∴（3k+2）＞

因而（1+1）

这就是说①式当n=k+1时也成立.

由（i）（ii）知，①式对任何自然数n都成立.由此证得：

当a＞1时，Sn＞logabn+1

当0＜a＜1时，Sn＜logabn+1

 


练习册系列答案
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.在等比数列{an}中，an＞0（n∈N*），公比q∈（0，1），且a1a5+2a3a5+a2a8=25，又2是a3与a5的等比中项．设bn=5-log2an．
（1）求数列{bn}的通项公式；
（2）已知数列{bn}的前n项和为Sn，Tn=
1
S1
+
1
S2
+…+
1
Sn
，求Tn．
若数列{an}满足an+12-an2=d（其中d是常数，n∈N﹡），则称数列{an}是“等方差数列”．已知数列{bn}是公差为m的差数列，则m=0是“数列{bn}是等方差数列”的
充要条件
充要条件
条件．（填充分不必要、必要不充分、充要条件、既不充分也不必要条件中的一个）
若数列{an}满足
a
2
n+1
-
a
2
n
=d（其中d是常数，n∈N﹡），则称数列{an}是“等方差数列”．已知数列{bn}是公差为m的差数列，则m=0是“数列{bn}是等方差数列”的
充要条件
充要条件
条件．（填充分不必要、必要不充分、充要条件、既不充分也不必要条件中的一个）
已知数列{an}是公差不为0的等差数列，a2=2，a8为a4和a16的等比中项．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn=(
2
an+an+1
)2，求证b1+b2+b3+…+bn＜
n
n+1
(n∈N*)．
已知数列｛an｝是等比数列, 且bn＝an+an+1, 则｛bn｝是

[　　]

A.等比数列, 但不是等差数列　　    B.等差数列, 但不是等比数列

C.等比数列或等差数列　　　　　　  D.不是等比也不是等差数列

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