题目内容

（2013•江西）设函数f(x)=
1
a
x，0≤x≤a		 
1
1-a
(1-x)，		a＜x≤1
常数且a∈（0，1）．
（1）当a=
1
2
时，求f（f（
1
3
））；
（2）若x0满足f（f（x0））=x0，但f（x0）≠x0，则称x0为f（x）的二阶周期点，试确定函数有且仅有两个二阶周期点，并求二阶周期点x1，x2；
（3）对于（2）中x1，x2，设A（x1，f（f（x1））），B（x2，f（f（x2））），C（a2，0），记△ABC的面积为s（a），求s（a）在区间[
1
3
，
1
2
]上的最大值和最小值．
分析：（1）当a=
1
2
时，根据所给的函数解析式直接求值即可得出答案；
（2）根据二阶周期点的定义，分段进行求解，找出符号定义的根即为所求；
（3）由题意，先表示出s（a）的表达式，再借助导数工具研究s（a）在区间[
1
3
，
1
2
]上的单调性，确定出最值，即可求解出最值．
解答：解：（1）当a=
1
2
时，求f（
1
3
）=
2
3
，故f（f（
1
3
））=f（
2
3
）=2（1-
2
3
）=
2
3

（2）f（f（x））=
1
a2
x，0≤x≤a2
1
a(1-a)
(a-x)，a2＜x≤a
1
(1-a)2
(x-a)，a＜x≤a2-a+1
1
a(1-a)
(1-x)，a2-a+1＜x≤1

当0≤x≤a2时，由
1
a2
x=x，解得x=0，因为f（0）=0，故x=0不是函数的二阶周期点；
当a2＜x≤a时，由
1
(1-a)2
(x-a)=x，解得x=
a
-a2+a+1
∈(a2，a)
因为f（
a
-a2+a+1
）=
1
a
×
a
-a2+a+1
=
1
-a2+a+1
≠
a
-a2+a+1
，
故x=
a
-a2+a+1
是函数的二阶周期点；
当a＜x≤a2-a+1时，由
1
(1-a)2
(x-a)=x，解得x=
1
2-a
∈（a，a2-a+1），因为f（
1
2-a
）=
1
2-a
，故得x=
1
2-a
不是函数的二阶周期点；
当a2-a+1＜x≤1时，由
1
a(1-a)
(1-x)=x，解得x=
1
-a2+a+1
∈（a2-a+1，1），因为f（
1
-a2+a+1
）=
a
-a2+a+1
≠
1
-a2+a+1
，故x=
1
-a2+a+1
是函数的二阶周期点；
因此函数有两个二阶周期点，x1=
a
-a2+a+1
，x2=
1
-a2+a+1

（3）由（2）得A（
a
-a2+a+1
，
a
-a2+a+1
），B（
1
-a2+a+1
，
1
-a2+a+1
）
则s（a）=S△OCB-S△OCA=
1
2
×
a2(1-a)
-a2+a+1
，所以s′（a）=
1
2
×
a(a3-2a2-2a+2)
-a2+a+1
，
因为a∈（
1
3
，
1
2
），有a2+a＜1，所以s′（a）=
1
2
×
a(a3-2a2-2a+2)
-a2+a+1
=
a[(a+1)(a-1)2+(1-a2-a)]
(-a2+a+1)2
×
1
2
＞0（或令g（a）=a3-2a2-2a+2利用导数证明其符号为正亦可）
s（a）在区间[
1
3
，
1
2
]上是增函数，
故s（a）在区间[
1
3
，
1
2
]上的最小值为s（
1
3
）=
1
33
，最大值为s（
1
2
）=
1
20
点评：本题考查求函数的值，新定义的理解，利用导数求函数在闭区间上的最值，第二题解答的关键是理解定义，第三题的关键是熟练掌握导数工具判断函数的单调性，本题考查了方程的思想，转化化归的思想及符号运算的能力，难度较大，综合性强，解答时要严谨认真方可避免会而作不对现象的出现．
练习册系列答案
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2
2
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3
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a≥2
a≥2
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e1
，
e2
为单位向量．且
e1
、
e2
的夹角为
π
3
，若
a
=
e1
+3
e2
，
b
=2
e1
，则向量
a
在
b
方向上的射影为
5
2
5
2
．
（2013•江西）（坐标系与参数方程选做题）
设曲线C的参数方程为
x=t
y=t2
（t为参数），若以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为
ρcos2θ-sinθ=0
ρcos2θ-sinθ=0
．

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