Question

过圆x²+y²=4外的一点A（4，0）作圆的割线，则割线被圆截得的弦的中点的轨迹方程为

（x-2）²+y²=4（已知圆内部分）

．

Answer 1

分析：设弦BC中点（x，y），过A的直线的斜率为k，求得割线ABC的方程．再由弦的中点与圆心连线与割线ABC垂直可得垂线的方程．再根据弦的中点是这两条直线的交点，求出
弦的中点的轨迹方程．

解答：解：设弦BC中点（x，y），过A的直线的斜率为k，则割线ABC的方程：y=k（x-4）．
作圆的割线ABC，所以弦的中点与圆心连线与割线ABC垂直，垂线的方程为：x+ky=0．
因为交点就是弦的中点，它在这两条直线上，故弦BC中点的轨迹方程是：x²+y²-4x=0，
即（x-2）²+y²=4，
故答案为 （x-2）²+y²=4（已知圆内部分）

点评：本题考查形式数形结合的数学思想，轨迹方程，直线与圆的方程的应用，易错题，中档题．