Question

已知椭圆的左右焦点为F₁，F₂，离心率为，以线段F₁ F₂为直径的圆的面积为π．
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线l过椭圆的右焦点F₂（l不垂直坐标轴），且与椭圆交于A、B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点M（m，0），试求m的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据离心率为，以线段F₁ F₂为直径的圆的面积为π，可求得a=，c=1，从而b²=1，故可求椭圆方程；
（2）设出直线l的方程代入椭圆方程，从而求出线段AB的垂直平分线方程，令y=0，可得m的函数关系式，进而可求m的取值范围．
解答：解：（1）由离心率为得：=①
又由线段F₁ F₂为直径的圆的面积为π得：πc²=π，c²=1       ②…（2分）
由①，②解得a=，c=1，∴b²=1，∴椭圆方程为…（5分）
（2）由题意，F₂（1，0），设l的方程为：y=k（x-1）（k≠0），代入椭圆方程为
整理得（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中点为（x，y），则
，
∴线段AB的垂直平分线方程为
令y=0，得m=x+ky=
由于即，
∴．…（13分）
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，解题的关键是确定线段AB的垂直平分线方程，属于中档题．