Question

若{a_n}是各项均不为零的等差数列，公差为d，S_n为其前n项和，且满足

a

2 n

=S2n-1，n∈N^*．数列{b_n}满足bn=

1

an•an+1

，T_n为数列{b_n}的前n项和．
（Ⅰ）求a_n和T_n；
（Ⅱ）若对一切正整数n，Tn≥λ•(

1

2

)n恒成立，求λ的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）{a_n}是各项均不为零的等差数列，令n=1和n=2代入

a

2 n

=S2n-1，分别求出a₁和d，求出a_n的通项公式，将其代入b_n，利用裂项法求出其前n项和T_n；
（Ⅱ）由第一问已经求出T_n代入Tn≥λ•(

1

2

)n，可以推出λ≤

n

2n+1

•2n，只要求出

n

2n+1

•2n的最小值即可，从而求出λ的范围；

解答：解：（Ⅰ）在

a

2 n

=S2n-1中，
令n=1，可得a₁²=s₁=a₁，
n=2，可得a₂²=s₃=a₁+a₂+a₃，
∴a₁=1，a₂²=a₁+a₂+a₃，a₁=1，
a₁+a₁+d+a₁+2d=（a₁+d）²，
解得，d=2，
从而a_n=a₁+（n-1）×d=2n-1，…（4分）
bn=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，
于是Tn=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)]=

n

2n+1

．…（8分）
（Ⅱ）λ≤

n

2n+1

•2n，
令cn=

n

2n+1

•2n，
则cn+1-cn=

n+1

2n+3

•2n+1-

n

2n+1

•2n
=

2n2+3n+2

(2n+1)(2n+3)

•2n＞0，…（12分）
于是{c_n}是单调递增数列，(cn)min=c1=

2

3

，
故λ≤

2

3

．…（14分）

点评：此题主要考查等差数列的性质及其应用，第二问用到了裂项法，这是最常用的方法，关于恒成立问题，要学会转化，此题是一道中档题；