题目内容
(本题13分)
已知f(x)＝lnx＋x2－bx.
(1)若函数f(x)在其定义域内是增函数，求b的取值范围；
(2)当b＝－1时，
设g(x)＝f(x)－2x2，求证函数g(x)只有一个零点．
已知f(x)＝lnx＋x2－bx.
(1)若函数f(x)在其定义域内是增函数，求b的取值范围；
(2)当b＝－1时，
设g(x)＝f(x)－2x2，求证函数g(x)只有一个零点．解:(1)∵f(x)在(0，＋∞)上递增，
∴f ′(x)＝＋2x－b≥0，对x∈(0，＋∞)恒成立，
即b≤＋2x对x∈(0，＋∞)恒成立，
∴只
需b≤min 
(x>0)，
∵x>0，∴＋2x≥2，当且仅当x＝时取“＝”，
∴b≤2，
∴b的取值范围为(－∞，2]．
(2)当b＝－1时，g(x)＝f(x)－2x2＝lnx－x2＋x，其定义域是(0，＋∞)，
∴g′(x)＝－2x＋1
＝－＝－，
令g′(x)＝0，即－＝0，
∵x>0，∴x＝1，
当0<x<1时，g′(x)>0；当x>1时，g′
(x)<0，
∴函数g(x)在区间(0,1)上单调递增，在区间(1，＋∞)上单调递减，
∴当x≠1时，g(x)<g(1)，即g(x)<0，当x＝1时，g(x)＝0.
∴函数g(x)只有一个零点．
∴f ′(x)＝＋2x－b≥0，对x∈(0，＋∞)恒成立，
即b≤＋2x对x∈(0，＋∞)恒成立，
∴只
需b≤min (x>0)，∵x>0，∴＋2x≥2，当且仅当x＝时取“＝”，
∴b≤2，
∴b的取值范围为(－∞，2]．
(2)当b＝－1时，g(x)＝f(x)－2x2＝lnx－x2＋x，其定义域是(0，＋∞)，
∴g′(x)＝－2x＋1
＝－＝－，
令g′(x)＝0，即－＝0，
∵x>0，∴x＝1，
当0<x<1时，g′(x)>0；当x>1时，g′
(x)<0，∴函数g(x)在区间(0,1)上单调递增，在区间(1，＋∞)上单调递减，
∴当x≠1时，g(x)<g(1)，即g(x)<0，当x＝1时，g(x)＝0.
∴函数g(x)只有一个零点．
略
练习册系列答案
相关题目
的导数
；
都有
求a的取值范围。
，
的单调区间；
恒成立，试确定实数
的取
值范围；
（
且
）
x3－ax2＋(a2－1)x＋b(a，b∈R)，其图象在点(1，f(1))处的切线方程为x＋y－3＝0.
)求函数f(x)的单调区间，并求出f(x)在区间[－2,4]上的最大值．
=
在
处取得极值.
的值；
的方程
在
上恰有两个不相等的实数根，求实数
的取值范围；
．参考数据：
，
.
时，求
在闭区间
上的最大值与最小值；
：
与导函数
的图像只有一个交点，且交点在线段
的取值范围．
，其中a为常数．
的一个极值点，求a的值；
，在x=0处取得最大值，求正数a的取值范围．
=( )