Question

已知直线l₁：（a+3）x+4y=5-3a与l₂：2x+（a+5）y=8，则当a为何值时，直线l₁与l₂：
（1）平行？
（2）垂直？
（3）相交且交点在x轴上方？

Answer 1

分析：（1）通过直线的斜率相等，截距不相等，判断直线平行，求出a的值．
（2）当两条直线的斜率乘积是-1时，两条直线垂直，求出a的值；
（3）求出两直线的恒过点，然后可知k₁＞k₂，列出方程即可求出a的范围．

解答：解：（1）直线l₁：（a+3）x+4y=5-3a，它的斜率为-

3+a

4

，斜率存在，两条直线平行，
则直线l₂：2x+（a+5）y=8的斜率为-

2

a+5

，
所以-

3+a

4

=-

2

a+5

解得a=-1，或a=-7，当a=-1时两条直线重合，舍去，
所以a=-7时两条直线平行．
（2）两条直线垂直，所以(-

3+a

4

)•(-

2

a+5

)=-1
解得：a=-

13

3

（3）．（a+3）x+4y=5-3a
   a（x+3）=5+3x+4y
令x+3=5+3x+4y=0
x=-3，y=1
直线l₁恒过点（-3，1）
同理可求得：l₂恒过点（4，0）
若交点在x轴上方，则k₁＞k₂
k₁，k₂分别为直线L₁，L₂的斜率
即：-

a+3

4

＞-

2

a+5

解得：a＜-7 或-5＜a＜-1

点评：此题为中档题，要求学生会利用代数的方法研究图象的位置关系，做此题时要考虑直线的斜率是否存在．