题目内容
已知f(x)=lg
，函数y=f（x）与函数y=g（x）满足如下对应关系：当点（x，y）在y=f（x）的图象上时，点(
，
)在y=g（x）的图象上，且f（0）=0，g（-1）=1．
（1）求函数y=g（x）的解析式；
（2）指出函数y=g（x）的单调递增区间，并用单调性定义证明之．
| b-ax2 |
| 10x+1 |
| x |
| 3 |
| y |
| 2 |
（1）求函数y=g（x）的解析式；
（2）指出函数y=g（x）的单调递增区间，并用单调性定义证明之．
分析：（1）由题意可得关于ab的方程组，解之可得函数f（x）的解析式，进而可得g（x）的解析式；
（2）可知函数的单调递增区间为（-
，0），由复合函数的单调性，只需证明函数m（x）=10-9x2在区间（-
，0）上单调递增即可，由单调性的定义可证．
（2）可知函数的单调递增区间为（-
| ||
| 3 |
| ||
| 3 |
解答：解：（1）由题意可得
，解得
，
故f(x)=lg
=lg
，x∈（-
，
）
故必有2y=lg
，即y=
lg
，
故函数y=g（x）的解析式为：g（x）=
lg
；
（2）由（1）可知，函数y=g（x）的单调递增区间为（-
，0），
任取x1，x2∈（-
，0），且x1＜x2，
由复合函数的单调性可知，只需证明函数m（x）=10-9x2在区间（-
，0）上单调递增，
则有m（x1）-m（x2）=（10-9x12）-（10-9x22）
=9（x2+x1）（x2-x1），
∵x1，x2∈（-
，0），且x1＜x2，
∴x2+x1＜0，x2-x1＞0，∴9（x2+x1）（x2-x1）＜0，
故m（x1）＜m（x2），
故函数y=g（x）的单调递增区间为（-
，0），
|
|
故f(x)=lg
| b-ax2 |
| 10x+1 |
| 10-x2 |
| 10x+1 |
| 10 |
| 10 |
故必有2y=lg
| 10-9x2 |
| 103x+1 |
| 1 |
| 2 |
| 10-9x2 |
| 103x+1 |
故函数y=g（x）的解析式为：g（x）=
| 1 |
| 2 |
| 10-9x2 |
| 103x+1 |
（2）由（1）可知，函数y=g（x）的单调递增区间为（-
| ||
| 3 |
任取x1，x2∈（-
| ||
| 3 |
由复合函数的单调性可知，只需证明函数m（x）=10-9x2在区间（-
| ||
| 3 |
则有m（x1）-m（x2）=（10-9x12）-（10-9x22）
=9（x2+x1）（x2-x1），
∵x1，x2∈（-
| ||
| 3 |
∴x2+x1＜0，x2-x1＞0，∴9（x2+x1）（x2-x1）＜0，
故m（x1）＜m（x2），
故函数y=g（x）的单调递增区间为（-
| ||
| 3 |
点评：本题考查函数解析式的求解，涉及函数单调性的判断与证明，属基础题．
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