题目内容
设函数f（x）在R上满足f（2-x）=f（2+x），f（7-x）=f（7+x），且在闭区间[0，7]上，只有f（1）=f（3）=0，则方程f（x）=0在闭区间[-2011，2011]上的根的个数为（ ）
| A、802 | B、803 | C、804 | D、805 |
分析：根据周期函数性质可知，只需求出一个周期里的根的个数，可求得f（x）在[0，10]和[-10，0]上均有有两个解，从而可知函数y=f（x）在[0，2011]上有403个解，在[-2011，0]上有402个解，综合可得答案．
解答：解：由
⇒
⇒f（4-x）=f（14-x）⇒f（x）=f（x+10）
又f（3）=f（1）=0⇒f（11）=f（13）=f（-7）=f（-9）=0
故f（x）在[0，10]和[-10，0]上均有有两个解，
从而可知函数y=f（x）在[0，2011]上有403个解，在[-2011，0]上有402个解，
所以函数y=f（x）在[-2011，2011]上有805个解．
故选D．
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又f（3）=f（1）=0⇒f（11）=f（13）=f（-7）=f（-9）=0
故f（x）在[0，10]和[-10，0]上均有有两个解，
从而可知函数y=f（x）在[0，2011]上有403个解，在[-2011，0]上有402个解，
所以函数y=f（x）在[-2011，2011]上有805个解．
故选D．
点评：本题主要考查了函数的周期性和根的存在性及根的个数判断，属于基础题．
练习册系列答案
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（2012•重庆）设函数f（x）在R上可导，其导函数为f′（x），且函数y=（1-x）f′（x）的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（ ）设函数f（x）在R上的导函数为f′（x），且2f（x）+xf′（x）＜0，下面的不等式在R上恒成立的是（ ）
| A、f（x）＞0 | B、f（x）＜0 | C、f（x）＞x | D、f（x）＜x |
设函数f（x）在R上的导函数为f′（x），若2f（x）+x?f′（x）＜0恒成立，下列说法正确的是（ ）
| A、函数x2f（x）有最小值0 | B、函数x2f（x）有最大值0 | C、函数x2f（x）在R上是增函数 | D、函数x2f（x）在R上是减函数 |