题目内容
设函数f（x）在R上的导函数为f′（x），若2f（x）+x?f′（x）＜0恒成立，下列说法正确的是（ ）
| A、函数x2f（x）有最小值0 | B、函数x2f（x）有最大值0 | C、函数x2f（x）在R上是增函数 | D、函数x2f（x）在R上是减函数 |
分析：由已知条件想到构造辅助函数F（x）=x2f（x），求导后分x＜0和x＞0两种情况讨论导函数的符号，并得到原函数的单调性，则答案可求．
解答：解：设F（x）=x2f（x），
∴F′（x）=2xf（x）+x2f′（x）=x[2f（x）+xf′（x）]，
∵2f（x）+x•f′（x）＜0，
∴当x＞0时，F′（x）＜0，F（x）在（0，+∞）上是减函数，
当x＜0，F′（x）＞0，F（x）在（-∞，0）上是增函数．
∴当x=0时，F（x）有最大值，最大值为0．
综上可知，选项B正确．
故选：B．
∴F′（x）=2xf（x）+x2f′（x）=x[2f（x）+xf′（x）]，
∵2f（x）+x•f′（x）＜0，
∴当x＞0时，F′（x）＜0，F（x）在（0，+∞）上是减函数，
当x＜0，F′（x）＞0，F（x）在（-∞，0）上是增函数．
∴当x=0时，F（x）有最大值，最大值为0．
综上可知，选项B正确．
故选：B．
点评：本题考查了导数的运算，考查了函数的单调性与导数之间的关系，训练了函数构造法，是中档题．
练习册系列答案
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（2012•重庆）设函数f（x）在R上可导，其导函数为f′（x），且函数y=（1-x）f′（x）的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（ ）设函数f（x）在R上的导函数为f′（x），且2f（x）+xf′（x）＜0，下面的不等式在R上恒成立的是（ ）
| A、f（x）＞0 | B、f（x）＜0 | C、f（x）＞x | D、f（x）＜x |