题目内容
设函数f(x)在R上的导函数为f′(x),若2f(x)+x?f′(x)<0恒成立,下列说法正确的是( )
A、函数x2f(x)有最小值0 | B、函数x2f(x)有最大值0 | C、函数x2f(x)在R上是增函数 | D、函数x2f(x)在R上是减函数 |
分析:由已知条件想到构造辅助函数F(x)=x2f(x),求导后分x<0和x>0两种情况讨论导函数的符号,并得到原函数的单调性,则答案可求.
解答:解:设F(x)=x2f(x),
∴F′(x)=2xf(x)+x2f′(x)=x[2f(x)+xf′(x)],
∵2f(x)+x•f′(x)<0,
∴当x>0时,F′(x)<0,F(x)在(0,+∞)上是减函数,
当x<0,F′(x)>0,F(x)在(-∞,0)上是增函数.
∴当x=0时,F(x)有最大值,最大值为0.
综上可知,选项B正确.
故选:B.
∴F′(x)=2xf(x)+x2f′(x)=x[2f(x)+xf′(x)],
∵2f(x)+x•f′(x)<0,
∴当x>0时,F′(x)<0,F(x)在(0,+∞)上是减函数,
当x<0,F′(x)>0,F(x)在(-∞,0)上是增函数.
∴当x=0时,F(x)有最大值,最大值为0.
综上可知,选项B正确.
故选:B.
点评:本题考查了导数的运算,考查了函数的单调性与导数之间的关系,训练了函数构造法,是中档题.
练习册系列答案
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设函数f(x)在R上的导函数为f′(x),且2f(x)+xf′(x)<0,下面的不等式在R上恒成立的是( )
A、f(x)>0 | B、f(x)<0 | C、f(x)>x | D、f(x)<x |