Question

【题目】如图，四棱锥的底面是正方形，，，，点分别为棱的中点.

（1）求证：∥平面；

（2）求三棱锥的体积.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】

（1）欲证AF∥平面PCE，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证AF与平面PCE内一直线平行，取PC的中点G，连接FG、EG，AF∥EG又EG平面PCE，AF平面PCE，满足定理条件；

（2）三棱锥C﹣BEP的体积可转化成三棱锥P﹣BCE的体积，而PA⊥底面ABCD，从而PA即为三棱锥P﹣BCE的高，根据三棱锥的体积公式进行求解即可．

证明：（1）取PC的中点G，连接FG、EG

∴FG为△CDP的中位线

∴FGCD

∵四边形ABCD为矩形，E为AB的中点

∴AECD

∴FGAE

∴四边形AEGF是平行四边形.

∴AF∥EG又EG平面PCE，AF平面PCE

∴AF∥平面PCE.

（2）PA⊥底面ABCD ，在Rt△BCE中，BE=1，BC=2，

∴三棱锥C﹣BEP的体积

VC﹣BEP=VP﹣BCE==.