题目内容
已知点
，动点N（x，y），设直线NP，NQ的斜率分别记为k1，k2，记
（其中“?”可以是四则运算加、减、乘、除中的任意一种运算），坐标原点为O，点M（2，1）．（Ⅰ）探求动点N的轨迹方程；
（Ⅱ）若“?”表示乘法，动点N的轨迹再加上P，Q两点记为曲线C，直线l平行于直线OM，且与曲线C交于A，B两个不同的点．
（ⅰ）若原点O在以AB为直径的圆的内部，试求出直线l在y轴上的截距m的取值范围．
（ⅱ）试求出△AOB面积的最大值及此时直线l的方程．
【答案】分析：（Ⅰ）由斜率公式直接写出k1，k2，然后直接利用加，减，乘，除运算整理得动点N的轨迹方程；
（Ⅱ）（ⅰ）设出直线l的方程，和椭圆方程联立后化为关于x的一元二次方程，利用根与系数关系得到两交点A，B的横坐标的和与积，利用原点O在以AB为直径的圆的内部得到
，代入根与系数关系即可求得m的范围；
（ⅱ）利用弦长公式求出弦长，由点到直线的距离公式求出三角形的高，代入面积公式后利用配方法求最值，并得到三角形面积最大时的直线方程．
解答：解：（Ⅰ）由两点求斜率得
，
当“?”表示加法时：
．
当“?”表示减法时：
．
当“?”表示乘法时：
．
当“?”表示乘法时：
；
（Ⅱ）若“?”表示乘法，曲线C为椭圆
，
设直线
A（x1，y1），B（x2，y2）
联立直线与椭圆的方程得：x2+2mx+2m2-4=0，
由△＞0⇒0＜m2＜4，
…（*）
（ⅰ）因为点O在以AB为直径的圆内，故
，
∴
，
将（*）代入得
所以m得取值范围为：
（ⅱ）原点O到直线l的距离
，
弦长
，
令f（m）=4m2-m4=-（m2-2）2+4∈（0，4]
故得当且仅当m2=2，即
时，
面积的最大值Smax=2．
此时的直线l的方程为：
．
点评：本题考查了轨迹方程的求法，考查了直线与圆锥曲线的关系，考查了数学转化思想方法，把原点O在以AB为直径的圆的内部转化为数量积小于0是解答该题的关键，考查了学生的计算能力，是有一定难度题目．
（Ⅱ）（ⅰ）设出直线l的方程，和椭圆方程联立后化为关于x的一元二次方程，利用根与系数关系得到两交点A，B的横坐标的和与积，利用原点O在以AB为直径的圆的内部得到
，代入根与系数关系即可求得m的范围；（ⅱ）利用弦长公式求出弦长，由点到直线的距离公式求出三角形的高，代入面积公式后利用配方法求最值，并得到三角形面积最大时的直线方程．
解答：解：（Ⅰ）由两点求斜率得
，当“?”表示加法时：
．当“?”表示减法时：
．当“?”表示乘法时：
．当“?”表示乘法时：
；（Ⅱ）若“?”表示乘法，曲线C为椭圆
，设直线
A（x1，y1），B（x2，y2）联立直线与椭圆的方程得：x2+2mx+2m2-4=0，
由△＞0⇒0＜m2＜4，
…（*）（ⅰ）因为点O在以AB为直径的圆内，故
，∴
，将（*）代入得
所以m得取值范围为：
（ⅱ）原点O到直线l的距离
，弦长
，令f（m）=4m2-m4=-（m2-2）2+4∈（0，4]
故得当且仅当m2=2，即
时，面积的最大值Smax=2．
此时的直线l的方程为：
．点评：本题考查了轨迹方程的求法，考查了直线与圆锥曲线的关系，考查了数学转化思想方法，把原点O在以AB为直径的圆的内部转化为数量积小于0是解答该题的关键，考查了学生的计算能力，是有一定难度题目．
练习册系列答案
相关题目
的最小值为2，求直线AB的方程．
，
．（1）求动点N的轨迹C方程；（2）由直线y= -1上一点Q向曲线C引两条切线，切点分别为A，B，求证：AQ⊥BQ．