题目内容
在△ABC中，已知内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且a2+b2=c2+ab．
（1）若
=
，且c=2，求△ABC的面积；
（2）已知向量
=（sinA，cosA），
=（cosB，-sinB），求|
-2
|的取值范围．
（1）若
| a |
| b |
| cosB |
| cosA |
（2）已知向量
| m |
| n |
| m |
| n |
分析：（1）根据余弦定理结合题中平方关系的等式，算出cosC=
，从而得出C=
．再由正弦定理结合题中比例式，化简可得sin2A=sin2B，因此△ABC是等边三角形，不难得出△ABC的面积．
（2）首先计算
=
=1，且
•
=sin（A-B），代入(
-2
)2表达式并化简，得(
-2
)2=5-4sin(
-2B)，根据角B的取值范围结合正弦函数的单调性，可得1≤(
-2
)2≤9，两边开方即得|
-2
|的取值范围．
| 1 |
| 2 |
| π |
| 3 |
（2）首先计算
| |m| |
| |n| |
| m |
| n |
| m |
| n |
| m |
| n |
| 2π |
| 3 |
| m |
| n |
| m |
| n |
解答：解析：（1）在△ABC中，∵a2+b2=c2+ab，即c2=a2+b2-ab，
∴cosC=
=
，结合C∈（0，π）得C=
又∵
=
，可得
=
，
∴sinAcosA=sinBcosB，即sin2A=sin2B，
∴A=B或A+B=
当A+B=
时，与C=
矛盾，故A=B，可得△ABC是等边三角形．
∵c=2，∴△ABC的面积S△ABC=
×22=
…（6分）
（2）∵向量
=（sinA，cosA），
=（cosB，-），
∴
=1，
=1，
•
=sinAcosB-cosAsinB=sin（A-B）
因此，(
-2
)2=
2+4
2-4
•
=5-4sin(A-B)
∵A+B=
，得A=
-B
∴(
-2
)2=5-4sin[(
-B)-B]=5-4sin(
-2B)
∵B∈（0，
），得
-2B∈（-
，
）…（10分）
∴当
-2B=-
时，sin(
-2B)有最小值-1，此时5-4sin(
-2B)有最大值9；
当
-2B=
时，sin(
-2B)有最大值1，此时5-4sin(
-2B)有最小值1．
可得1≤(
-2
)2≤9，开方得1≤|
-2
| ≤3
故|
-2
|的取值范围[1，3]． …（12分）
∴cosC=
| a2+b2-c2 |
| 2ab |
| 1 |
| 2 |
| π |
| 3 |
又∵
| a |
| b |
| cosB |
| cosA |
| sinA |
| sinB |
| cosB |
| cosA |
∴sinAcosA=sinBcosB，即sin2A=sin2B，
∴A=B或A+B=
| π |
| 2 |
当A+B=
| π |
| 2 |
| π |
| 3 |
∵c=2，∴△ABC的面积S△ABC=
| ||
| 4 |
| 3 |
（2）∵向量
| m |
| n |
∴
| |m| |
| |n| |
| m |
| n |
因此，(
| m |
| n |
| m |
| n |
| m |
| n |
∵A+B=
| 2π |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
∴(
| m |
| n |
| 2π |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
∵B∈（0，
| 2π |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
∴当
| 2π |
| 3 |
| π |
| 2 |
| 2π |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
当
| 2π |
| 3 |
| π |
| 2 |
| 2π |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
可得1≤(
| m |
| n |
| m |
| n |
故|
| m |
| n |
点评：本题是一道三角函数综合题，着重考查了平面向量数量积的坐标表示、模的公式，以及运用正余弦定理解三角形等知识，属于中档题．
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