Question

已知 f（x）=ax²+c的图象经过点（2，1），且在x=1处的切线方程是2x-4y-1=0
（1）求y=f（x）的解析式；
（2）点P是直线y=-1上的动点，自点P作函数f（x）的图象的两条切线PA、PB（点A、B为切点），求证直线AB经过一个定点，并求出定点的坐标．

Answer 1

分析：（1）先对函数求导，结合导数的几何意义及已知切线的斜率可求a，由图象经过点（2，1），代入可求c，可求解函数解析式
（2）先设点P（x₀，-1），切点坐标为(t，

1

4

t2)，由f′(x)=

1

2

x，可表示切线的斜率为

1

2

t，可求切线方程，由此切线经过点P代入可得x₀与t的方程再分别设两切点坐标为A(t1，

1

4

t

2 1

)，B(t2，

1

4

t

2 2

)，结合方程的根与系数关系及直线的斜率公式可求直线AB的方程即可求解

解答：解：（1）因为f′（x）=2ax，…（1分）
而切线2x-4y-1=0的斜率为

1

2

，所以2a=

1

2

，a=

1

4

又图象经过点（2，1），所以4a+c=1，那么c=0，
所以函数f(x)=

1

4

x2…（5分）
（2）设点P（x₀，-1），切点坐标为(t，

1

4

t2)，f′(x)=

1

2

x，
那么切线的斜率为

1

2

t，…（6分）
所以切线方程为y-

1

4

t2=

t

2

(x-t)，整理得到：y=

t

2

x-

1

4

t2，…（8分）
此切线经过点P（x₀，-1），则t²-2x₀t-4=0，…（9分）
再分别设两切点坐标为A(t1，

1

4

t

2 1

)，B(t2，

1

4

t

2 2

)，
那么t₁t₂=-4，t₁+t₂=2x₀，…（10分）
又直线AB的斜率KAB=

1 4 t 2 1 - 1 4 t 2 2

t1-t2

=

1

4

(t1+t2)，…（11分）
所以直线AB的方程为y-

1

4

t

2 1

=

1

4

(t1+t2)(x-t1)
整理得到：y=

1

2

x0x-

1

4

t1t2，而t₁t₂=-4，
所以直线AB的方程为y=

1

2

x0x+1，…（13分）
所以直线AB经过定点（0，1）…（14分）

点评：本题主要考查了导数的几何意义的简单应用及直线的斜率公式的应用及直线方程的求解．