题目内容
（2011•盐城模拟）（选修4-5：不等式选讲）
已知a，b，c为正数，且a2+a2+c2=14，试求a+2b+3c的最大值．
已知a，b，c为正数，且a2+a2+c2=14，试求a+2b+3c的最大值．
分析：设向量
=(a，b，c)，
=(1，2，3)，结合数量积的性质|
•
|≤
•
，可得|a+2b+3c|≤
•
，即|a+2b+3c|≤14，由此可得a+2b+3c的最大值．
| m |
| n |
| m |
| n |
| |m| |
| |n| |
| a2+b2+c2 |
| 14 |
解答：解：设向量
=(a，b，c)，
=(1，2，3)，可得
=
，
=
=
，
•
=a+2b+3c
∵
•
=
•
cosθ，|cosθ|≤1（θ为向量
、
的夹角）
∴|
•
|≤
•
，可得|a+2b+3c|≤
•
∵a2+a2+c2=14，
∴|a+2b+3c|≤14，可得-14≤a+2b+3c≤14
当且仅当a：b：c=1：2：3时，即a=1，b=2，c=3时，a+2b+3c取最大值14．
| m |
| n |
| |m| |
| a2+b2+c2 |
| |n| |
| 12+22+32 |
| 14 |
| m |
| n |
∵
| m |
| n |
| |m| |
| |n| |
| m |
| n |
∴|
| m |
| n |
| |m| |
| |n| |
| a2+b2+c2 |
| 14 |
∵a2+a2+c2=14，
∴|a+2b+3c|≤14，可得-14≤a+2b+3c≤14
当且仅当a：b：c=1：2：3时，即a=1，b=2，c=3时，a+2b+3c取最大值14．
点评：本题已知a、b、c三个数的平方和的值，求a+2b+3c的最大值．着重考查了空间向量数量积的性质和柯西不等式求最值等知识，属于基础题．
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