题目内容

(2011•盐城模拟)设等差数列{an}满足:公差d∈N*,an∈N*,且{an}中任意两项之和也是该数列中的一项.若a1=35,则d的所有可能取值之和为
364
364
分析:先求出数列的通项公式,求出数列{an}中任意两项之和,根据数列{an}中任意两项之和仍是该数列中的一项求出d=
243
k+1-m-n
,再结合k,m,n,d∈N*,即可求出d的所有可能取值进而求出结论.
解答:解:设等差数列的公差为d,若a1=35,=243,则an=243+(n-1)d.
所以数列{an}中任意两项之和am+an=243+(m-1)d+243+(n-1)d=486+(m+n-2)d.
设任意一项为ak=243+(k-1)d.
则由am+an=ak 可得 243+(m+n-k-1)d=0,化简可得 d=
243
k+1-m-n

再由k,m,n,d∈N*,可得 k+1-m-n=1,3,9,27,81,243,
∴d=243,81,27,9,3,1,
则d的所有可能取值之和为 364,
故答案为 364.
点评:本题主要考查等差数列的性质.解决问题的关键在于利用数列{an}中任意两项之和仍是该数列中的一项求出d=
243
k+1-m-n
,属于中档题.
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