Question

19．求函数y=2^2x+2^x-1在区间[-1，1]上的最大值与最小值．

Answer 1

分析 利用换元法，结合一元二次函数的性质进行求解．

解答 解：y=2^2x+2^x-1=（2^x）²+2^x-1=（2^x+$\frac{1}{2}$）²-$\frac{5}{4}$，
设t=2^x，
∵-1≤x≤1，∴$\frac{1}{2}$≤2^x≤2，即$\frac{1}{2}$≤t≤2，
则函数等价为y=f（t）=（t+$\frac{1}{2}$）²-$\frac{5}{4}$，
∴当t=2时，函数取得最大值f（2）=2²+2²-1=4+4-1=7，
当t=$\frac{1}{2}$时，函数取得最小值f（$\frac{1}{2}$）=（$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$）²-$\frac{5}{4}$=1-$\frac{5}{4}$=-$\frac{1}{4}$．

点评 本题主要考查函数的最值，利用换元法结合一元二次函数的性质是解决本题的关键．