题目内容

在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是一直角梯形，∠BAD=90°，AD∥BC，AB=AD=a，BC=2a，PD⊥底面ABCD．
（1）在PD上是否存在一点F，使得PB∥平面ACF，若存在，求出 $数学公式$ 的值；若不存在，试说明理由；
（2）在（1）的条件下，若PA与CD所成的角为60°，求二面角A-CF-D的余弦值．

解：（1）建立如图所示的空间直角坐标系：
D（0，0，0），A（0，a，0），B（a，a，0），C（a，-a，0），
设PD=b，则P（0，0，b），假设存在点F使PB∥平面ACF，F（0，0，λb）（0＜λ＜1）
设平面ACF的一个法向量为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
所以 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ ，
（2） $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
因为PA与CD所成的角为60°
所以 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
则a=b，
由（1）知平面ACF的一个法向量为 $\text{[math]}$
因为∠BAD=90°，AB=AD=a，BC=2a，所以 $\text{[math]}$ ，
所以BC²=CD²+BD²，所以BD⊥BC，
又PD⊥底面ABCD，则BD⊥平面CDF，
所以 $\text{[math]}$ 是平面CDF的一个法向量，
所以 $\text{[math]}$ ，
所以二面角的余弦值为 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）由题意建立空间直角坐标系，假设存在点F使PB∥平面ACF，先写出坐标含有变量，在利用平面法向量的定义建立方程解出即可；
（2）坐标写出后因为PA与CD所成的角为60°，利用夹角建立坐标设出的变量的方程，然后利用两平面的法向量的夹角求出所求的二面角的大小．
点评：此题重点考查了利用条件恰当的建立了空间直角坐标系，先设出坐标用未知的变量表示，在利用平面法向量的知识建立方程进行求解，还利用向量求出二面角的大小．