Question

已知函数f(x)＝x－ln(x＋m)在定义域内连续．

(1)求f(x)的单调区间和极值．

(2)当m为何值时，f(x)≥0恒成立？

(3)定理：若函数g(x)在[a，b]上连续，并具有单调性，且满足g(a)与g(b)异号，则方程g(x)＝0在[a，b]内有唯一实根．

试用上述定理证明：当m∈N^*且m＞1时方程f(x)＝0在[1－m，e^m－m]内有唯一实根．(e为自然对数的底)

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)　　令 　　；当 　　内是增函数． 　　当x＝1－m时，f(x)有极小值1－m　　　　　　5分; 　　(2)由(1)知内只有一个极值点 　　且 　　恒成立 　　只要，即成立 　　故所求的范围是　　　　　　8分; 　　(3)由(1)知上连续且单调递增． 　　， 　　又　　　　10分 　　 　　据所给定理内有唯一实根．　　　　　　14分