题目内容
【题目】已知函数f(x)=lnx﹣ax+ ,且f(x)+f( )=0,其中a,b为常数.
(1)若函数f(x)的图象在x=1的切线经过点(2,5),求函数的解析式;
(2)已知0<a<1,求证:f( )>0;
(3)当f(x)存在三个不同的零点时,求a的取值范围.
【答案】
(1)解:在 中,取x=1得f(1)=0,∴f(1)=﹣a+b=0,∴a=b,
∵ ,∴f'(1)=1﹣a﹣b=1﹣2a,
∵f(x)的图象在x=1的切线经过点(1,0),(2,5),∴k= ,
∴1﹣2a=5,得a=﹣2,
∴
(2)证明:
令 ,
则
∴x∈(0,1)时,g′(x)<0,g(x)单调递减,
∴x∈(0,1)时,
故0<a<1时,f( )>0
(3)解: ,
①当a≤0时,在(0,+∞)上,f′(x)>0,f(x)递增,∴f(x)至多一个零点,不符题意;
②当 时,在(0,+∞)上,f′(x)≤0,f(x)递减,∴f(x)至多一个零点,不符题意;
③当 时,令f′(x)=0,解得 , ,
此时,f(x)在(0,x1)上递减,在(x1,x2)上递增,在(x2,+∞)上递减,
∵x1<1<x2,∴f(x1)<f(1)<f(x2),即f(x1)<0,f(x2)>0,
∵ ,∴ ,使得f(x0)=0,
又∵ ,
∴f(x)恰有三个不同的零点:
综上所述,a的取值范围是
【解析】(1)利用赋值法,令x=1,得到f(1)=0,则切点为(1,0),从而可求出切线的斜率k=5,即f'(1)=5.由方程组 ,即可求出a,b的值;(2)将x= 待入f(x)的解析式,构造函数 ,通过求导可知g(x)在(0,1)上单调递减,则g(x)>g(1)=1﹣ln2>0,即f( ,对参数a进行分类讨论,易知a≤0,或a≥ 时,f(x)至多一个零点,不符题意;当0<a< 时,f(x)存在两个极值点x1 , x2 , 通过零点存在定理可知,此时f(x)存在三个零点,满足条件,故a的取值范围是 .