Question

如图，M是抛物线上y²=x上的一点，动弦ME、MF分别交x轴于A、B两点，且MA=MB
（1）若M为定点，证明：直线EF的斜率为定值；
（2）若M为动点，且∠EMF=90°，求△EMF的重心G的轨迹方程．

Answer 1

解：（1）设M（y₀²，y₀），直线ME的斜率为k（k＞0），
则直线MF的斜率为﹣k
直线ME的方程为y﹣y₀=k（x﹣y₀²），
由
消去x得ky﹣y+y₀（1﹣ky₀）=0，
解得y_E=，x_E=
同理可得yF=，xF=
∴k_EF=，
将坐标代入得k_EF=﹣（定值）
所以直线EF的斜率为定值．
（2）当∠EMF=90°时，∠MAB=45°，所以k=1
∴直线ME的方程为：y﹣y₀=x﹣y₀²，
由得E（（1﹣y₀）²，1﹣y₀）
同理可得F（（1+y₀）²，﹣（1+y₀）），
设重心为G（x，y），
则有代入坐标得
消去参数y₀得
y²=x﹣（x＞）