Question

已知抛物线x²=4y．
（Ⅰ）过抛物线焦点F，作直线交抛物线于M，N两点，求|MN|最小值；
（Ⅱ）如图，P是抛物线上的动点，过P作圆C：x²+（y+1）²=1的切线交直线y=-2于A，B两点，当PB恰好切抛物线于点P时，求此时△PAB的面积．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）设PF的方程代入x²=4y，利用抛物线的定义，结合基本不等式，即可求得|MN|最小值；
（Ⅱ）求出抛物线在点P处切线方程，从而可求圆心C到该切线距离，由对称性，不妨设，设切线方程，利用直线与圆相切，可得直线的斜率，进而可求|AB|，由此可求△PAB的面积．
解答：解：（Ⅰ）由题意F（0，1）
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），PF的方程为y=kx+1代入x²=4y得x²-4kx-4=0

故当k=0时，|MN|_min=4                              …（5分）
（Ⅱ）设，，∴
∴抛物线在点P处切线：
∴圆心C到该切线距离，∴a²=12
由对称性，不妨设…（9分）
显然过P作圆C的两条切线斜率都存在，设，
∴
因为相切，所以
∴
∴k=或
在中，令y=-2，得x=…（13分）
∴
∴…（15分）
点评：本题考查抛物线中过焦点的弦长计算，考查抛物线的切线，正确运用抛物线的切线是关键．