题目内容
【题目】在平面直角坐标系中,倾斜角为
的直线
的参数方程为
(
为参数).以坐标原点为极点,以
轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线
的极坐标方程是
.
(Ⅰ)写出直线的普通方程和曲线
的直角坐标方程;
(Ⅱ)若直线经过曲线
的焦点
且与曲线
相交于
两点,设线段
的中点为
,求
的值.
【答案】(Ⅰ) ;
(Ⅱ)
【解析】
(Ⅰ)由直线的参数方程消去参数得直线的普通方程,再根据极坐标方程与直角坐标方程的转化关系可得曲线
的直角坐标方程;
(Ⅱ)根据已知条件可得直线的参数方程,将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程中,根据直线参数方程中的参数
的几何意义和交点的中点可得
的值.
(Ⅰ)∵直线的参数方程为
(
为参数),
∴直线的普通方程为
,
由,得
,即
,
∴曲线的直角坐标方程为
,
(Ⅱ)∵直线经过曲线
的焦点
∴ ,直线
的倾斜角
.
∴直线的参数方程为
(
为参数)
代入,得
,
设两点对应的参数为
.
∵为线段
的中点,∴点
对应的参数值为
.
又点,则
.
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