题目内容
已知函数f（x）=x+
的定义域为（0，+∞），且f（2）=2+
．设点P是函数图象上的任意一点，过点P分别作直线y=x和y轴的垂线，垂足分别为M、N．（1）求a的值．
（2）问：|PM|•|PN|是否为定值？若是，则求出该定值；若不是，请说明理由．
（3）设O为坐标原点，求四边形OMPN面积的最小值．
【答案】分析：（1）由f（2）=2+
=2+
求解a．
（2）先设点P的坐标为（x，y），则有y=x+
，x＞0，再由点到直线的距离公式求得|PM|，|PN|计算即可．
（3）由（2）可将S四边形OMPN转化为S△OPM+S△OPN之和，分别用直角三角形面积公式求解，再构造S四边形OMPN面积模型求最值．
解答：解：（1）∵f（2）=2+
=2+
，∴a=
．
（2）设点P的坐标为（x，y），则有y=x+
，x＞0，
由点到直线的距离公式可知，|PM|=
=
，|PN|=x，
∴有|PM|•|PN|=1，即|PM|•|PN|为定值，这个值为1．
（3）由题意可设M（t，t），可知N（0，y）．
∵PM与直线y=x垂直，
∴kPM•1=-1，即
=-1．解得t=
（x+y）．
又y=x+
，∴t=x+
．
∴S△OPM=
+
，S△OPN=
x2+
．
∴S四边形OMPN=S△OPM+S△OPN=
（x2+
）+
≥1+
．
当且仅当x=1时，等号成立．
此时四边形OMPN的面积有最小值：1+
．
点评：本题主要考查函数与方程的综合运用，还考查了平面图形的转化与面积模型建立与解决．
=2+求解a．（2）先设点P的坐标为（x，y），则有y=x+
，x＞0，再由点到直线的距离公式求得|PM|，|PN|计算即可．（3）由（2）可将S四边形OMPN转化为S△OPM+S△OPN之和，分别用直角三角形面积公式求解，再构造S四边形OMPN面积模型求最值．
解答：解：（1）∵f（2）=2+
=2+，∴a=．（2）设点P的坐标为（x，y），则有y=x+
，x＞0，由点到直线的距离公式可知，|PM|=
=，|PN|=x，∴有|PM|•|PN|=1，即|PM|•|PN|为定值，这个值为1．
（3）由题意可设M（t，t），可知N（0，y）．
∵PM与直线y=x垂直，
∴kPM•1=-1，即
=-1．解得t=（x+y）．又y=x+
，∴t=x+．∴S△OPM=
+，S△OPN=x2+．∴S四边形OMPN=S△OPM+S△OPN=
（x2+）+≥1+．当且仅当x=1时，等号成立．
此时四边形OMPN的面积有最小值：1+
．点评：本题主要考查函数与方程的综合运用，还考查了平面图形的转化与面积模型建立与解决．
练习册系列答案
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已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，|φ|＜| π |
| 2 |
A、f(x)=2sin(πx+
| ||
B、f(x)=2sin(2πx+
| ||
C、f(x)=2sin(πx+
| ||
D、f(x)=2sin(2πx+
|