题目内容

如图，在棱长为1的正方体ABCD-A′B′C′D′中，AP=BQ=b（0＜b＜1），截面PQEF∥A′D，截面PQGH∥AD′．
（1）证明：平面PQEF和平面PQGH互相垂直；
（2）证明：截面PQEF和截面PQGH面积之和是定值，并求出这个值；
（3）若D′E与平面PQEF所成的角为45°，求D′E与平面PQGH所成角的正弦值．

分析：（解法一）
（Ⅰ）由题意得 A′D∥PF，PH∥AD′，PQ∥AB，又因AD′⊥A′D，AD′⊥AB，得到PH⊥PF，PH⊥PQ，
可证PH⊥平面PQEF，用面面垂直的判定定理即证．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知截面PQEF和截面PQGH都是矩形，且PF=

AP，PH=

PA′，PQ=1，代入
面积公式求解．
（Ⅲ）连接BC′交EQ于点M，得到平面ABC′D′∥平面PQGH，所求的角转化到D′E与平面ABC′D′所成
角，由（Ⅰ）知EM⊥平面ABC′D则′EM与D′E的比值就是所求的正弦值，根据已知条件求出b的
值，在直角三角形中求解．
（解法二）
（Ⅰ）用数量积为零求平面PQEF的法向量

AD′

和平面PQGH的法向量

A′D

，求它们的数量积为零证出
面面垂直．
（Ⅱ）用数量积为零证出截面PQEF和截面PQGH都是矩形，用两点间的距离公式求出邻边得长度，再
求面积和．
（Ⅲ）由（Ⅰ）知平面PQEF和平面PQGH的法向量，用数量积根据已知条件先求出b的值，再求向量所
成角的余弦值．

解答：解：解法一：
（Ⅰ）证明：∵面PQEF∥A′D，平面PQEF∩平面A′ADD′=PF
∴A′D∥PF，同理可得PH∥AD′，
∵AP=BQ=b，AP∥BQ；∴APBQ是平行四边形，∴PQ∥AB，
∵在正方体中，AD′⊥A′D，AD′⊥AB，
∴PH⊥PF，PH⊥PQ，
∴PH⊥平面PQEF，PH?平面PQGH．
∴平面PQEF⊥平面PQGH．（4分）
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知
PF=

AP，PH=

PA′，截面PQEF和截面PQGH都是矩形，且PQ=1，
∴截面PQEF和截面PQGH面积之和是(

AP+

PA′)×PQ=

，是定值．（8分）

（Ⅲ）解：连接BC′交EQ于点M．
∵PH∥AD′，PQ∥AB；PH∩PQ=P，AD′∩AB=A
∴平面ABC′D′∥平面PQGH，
∴D′E与平面PQGH所成角与D′E与平面ABC′D′所成角相等．
由（Ⅰ）同理可证EQ⊥平面PQGH，可知EM⊥平面ABC′D′，
∴EM与D′E的比值就是所求的正弦值．
设AD′交PF于点N，连接EN，由FD=1-b知
D′E=

(1-b)2+2

，ND′=

(1-b)．
∵AD′⊥平面PQEF，又已知D′E与平面PQEF成45°角，
∴D′E=

ND′，即

[

(1-b)]=

(1-b)2+2

，
解得b=

，可知E为BC中点．
∴EM=

，又D′E=

(1-b)2+2

，
∴D′E与平面PQCH所成角的正弦值为

D′E

．（12分）

解法二：
以D为原点，射线DA，DC，DD′分别为x，y，z轴的正半轴建立如图的空间直角坐标系D-xyz由已知得DF=1-b，
故A（1，0，0），A′（1，0，1），D（0，0，0），D′（0，0，1），P（1，0，b），Q（1，1，b），
E（1-b，1，0），F（1-b，0，0），G（b，1，1），H（b，0，1）．
（Ⅰ）证明：在所建立的坐标系中，
可得

=(0，1，0)，

=(-b，0，-b)，

=(b-1，0，1-b)，

AD′

=(-1，0，1)，

A′D

=(-1，0，-1)．