题目内容
已知函数f(x)=-x|x|+px.
(Ⅰ)当p=2时,画出函数f(x)的一个大致的图象,并指出函数的单调递增区间;
(Ⅱ)若函数y=f(x)-(p-1)(2x2+x)-1在区间[1,+∞)内有零点,求实数p的取值范围.
(Ⅰ)当p=2时,画出函数f(x)的一个大致的图象,并指出函数的单调递增区间;
(Ⅱ)若函数y=f(x)-(p-1)(2x2+x)-1在区间[1,+∞)内有零点,求实数p的取值范围.
分析:(Ⅰ) 当p=2时,f(x)=-x|x|+2x=
,可画出函数f(x)的大致的图象,从而可得单调递增区间;
(Ⅱ)若函数y=f(x)-(p-1)(2x2+x)-1在区间[1,+∞)内有零点,则方程-x2+px-2px2-px+2x2+x-1=0在区间[1,+∞)内有解,即方程2p=-(
)2+
+1在区间[1,+∞)内有解,求出右边函数的值域即可得到实数p的取值范围.
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(Ⅱ)若函数y=f(x)-(p-1)(2x2+x)-1在区间[1,+∞)内有零点,则方程-x2+px-2px2-px+2x2+x-1=0在区间[1,+∞)内有解,即方程2p=-(
1 |
x |
1 |
x |
解答:解:(Ⅰ) 当p=2时,f(x)=-x|x|+2x=
.
函数f(x)的大致的图象如图,单调递增区间为[-1,1]; (3分)
(Ⅱ)若函数y=f(x)-(p-1)(2x2+x)-1在区间[1,+∞)内有零点,
则方程-x2+px-2px2-px+2x2+x-1=0在区间[1,+∞)内有解,
即方程2p=-(
)2+
+1在区间[1,+∞)内有解.(5分)
令t=
,则t∈(0,1],-t2+t+1=-(t-
)2+
∈[1,
].
∴1≤2p≤
,
∴
≤p≤
. (8分)
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函数f(x)的大致的图象如图,单调递增区间为[-1,1]; (3分)
(Ⅱ)若函数y=f(x)-(p-1)(2x2+x)-1在区间[1,+∞)内有零点,
则方程-x2+px-2px2-px+2x2+x-1=0在区间[1,+∞)内有解,
即方程2p=-(
1 |
x |
1 |
x |
令t=
1 |
x |
1 |
2 |
5 |
4 |
5 |
4 |
∴1≤2p≤
5 |
4 |
∴
1 |
2 |
5 |
8 |
点评:本题考查绝对值函数,考查函数的零点,考查分离参数法的运用,解题的关键是分离参数,求函数的值域.
练习册系列答案
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}的前n项和为Sn,则S2010的值为( )
1 |
f(n) |
A、
| ||
B、
| ||
C、
| ||
D、
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