Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a_n+S_n=2．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求证数列{a_n}中不存在任意三项按原来顺序成等差数列；
（3）若从数列{a_n}中依次抽取一个无限多项的等比数列，使它的所有项和S满足，这样的等比数列有多少个？

Answer 1

【答案】分析：（1）利用已知前n项和求通项公式的方法求出a₁=1，即可得数列{a_n}的通项公式；
（2）用反证法．先假设存在三项按原来顺序成等差数列，利用等差中项：x，A，y成等差数列?2A=x+y，推出矛盾即可．
（3）设抽取的等比数列首项为，公比为，项数为k，对其求和找到：．再利用m，n，k∈N，m≥0，n≥1，k≥1，找到对应的m，n，k，即可求出对应的等比数列．
解答：解：（1）当n=1时，a₁+S₁=2a₁=2，则a₁=1．
又a_n+S_n=2，∴a_n+1+S_n+1=2，两式相减得，
∴{a_n}是首项为1，公比为的等比数列，
∴（4分）
（2）反证法：假设存在三项按原来顺序成等差数列，记为a_p+1，a_q+1，a_r+1（p＜q＜r）
则，∴2•2^r-q=2^r-p+1（*）
又∵p＜q＜r∴r-q，r-p∈N^*
∴*式左边是偶数，右边是奇数，等式不成立∴假设不成立原命题得证．（8分）

（3）设抽取的等比数列首项为，公比为，项数为k，
且满足m，n，k∈N，m≥0，n≥1，k≥1，
则又∵∴
整理得：①
∵n≥1∴2^m-n≤2^m-1．
∴∴m≤4∵∴
∴m≥4∴m=4将m=4代入①式整理得∴n≤4
经验证得n=1，2不满足题意，n=3，4满足题意．
综上可得满足题意的等比数列有两个．（16分）
点评：本题是对等差数列和等比数列的综合考查，是道综合性很强的好题．其中第一问涉及到已知前n项和为S_n求数列{a_n}的通项公式．已知前n项和为S_n求数列{a_n}的通项公式，根据a_n和S_n的关系：a_n=S_n-S_n-1 （n≥2）求解数列的通项公式．另外，须注意公式成立的前提是n≥2，所以要验证n=1时通项是否成立，若成立则：a_n=S_n-S_n-1 （n≥2）；若不成立，则通项公式为分段函数．