Question

已知函数f（x）=log_a（x+1），g（x）=2log_a（2x+t）（t∈R），其中x∈[0，15]，a＞0，且a≠1．
（1）若1是关于x的方程f（x）-g（x）=0的一个解，求t的值；
（2）当0＜a＜1时，不等式f（x）≥g（x）恒成立，求t的取值范围；
（3）当t∈[26，56]时，函数F（x）=2g（x）-f（x）的最小值为h（t），求h（t）的解析式．

Answer 1

【答案】分析：（1）由f（1）-g（1）=0，即可求得t的值；
（2）当0＜a＜1时，不等式f（x）≥g（x）恒成立?t≥-2x（x∈[0，15]）恒成立，令=u（x∈[0，15]），则u∈[1，4]，通过配方法可求得-2x的最大值，从而解决问题；
（3）F（x）=2g（x）-f（x）=4，令=z 可求得z∈[1，2]，设p（z）=2z³+，z∈[1，2]，通过导数可求得[p（z）]_min与[p（z）]_max，从而可得答案．
解答：解：（1）由题意得f（1）-g（1）=0，即log_a2=2log_a（2+t），解得t=-2+…（2分）
（2）当0＜a＜1时，不等式f（x）≥g（x）恒成立，即log_a（x+1）≥log_a（2x+t）（x∈[0，15]）恒成立，
它等价于≤2x+t（x∈[0，15]），即t≥-2x（x∈[0，15]）恒成立…（6分）
令=u（x∈[0，15]），则u∈[1，4]，x=u²-1，
-2x=-2（u²-1）+u=-2+，当u=1时，-2x的最大值为1，
∴t≥1…（8分）
（3）F（x）=2g（x）-f（x）=4log_a（2x+t）-log_a（x+1）=4．
令=z （x∈[0，15]），则z∈[1，2]，x=z⁴-1，
∴==2z³+，z∈[1，2]，…（10分）
设p（z）=2z³+，z∈[1，2]，
则p′（z）=6z²-．
令p'（z）=0，得z=．
∵t∈[26，56]，
∴z=∈[，]⊆[1，2]，
当1≤z≤时，p'（z）＜0；
当＜z≤2，p'（z）＞0．
故[p（z）]_min==8，…（12分）
且p（z）的最大值只能在z=1或z=2处取得．
而p（1）=2+t-2=t，p（2）=16+=+15，
∴p（1）-p（2）=-15，
当26≤t≤30时，p（1）≤p（2），p（z）_max=p（2）=+15，
当30＜t≤56时，p（1）＞p（2），p（z）_max=p（1）=t，
∴p（z）_max=…（14分）
∴当a＞1时，h（t）=4；
当0＜a＜1时，h（t）=…（16分）
点评：本题考查函数恒成立问题，考查对数函数图象与性质的综合应用，考查等价转化的思想与分类讨论的思想，考查换元的方法与导数法的应用，综合性强，难度大，属于难题．