Question

已知点A、B分别是椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)长轴的左、右端点，点C是椭圆短轴的一个端点，且离心率e=

2

2

．三角形ABC的面积为

2

，动直线l：y=kx+m与椭圆于M、N两点．
（I）求椭圆的方程；
（II）若椭圆上存在点P，满足

OM

+

ON

=λ

OP

（O为坐标原点），求λ的取值范围；
（III）在（II）的条件下，当λ=

2

时，求△MNO面积．

Answer 1

（I）由题意，

a2+b2 a = 2 2 1 2 ×2a×b= 2

，∴a=

2

，b=1
∴椭圆的方程为

x2

2

+y2=1；
（II）y=kx+m代入椭圆方程整理可得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0．
设点M、N的坐标分别为M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂）、P（x₀，y₀），则
x₁+x₂=-

4km

1+2k2

，x₁x₂=

2m2-2

1+2k2

∴y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2m=

2m

1+2k2

（1）当m=0时，点M、N关于原点对称，则λ=0．
（2）当m≠0时，点M、N不关于原点对称，则λ≠0，
∵

OM

+

ON

=λ

OP

，∴（x₁，y₁）+（x₂，y₂）=λ（x₀，y₀），
∴x₁+x₂=λx₀，y₁+y₂=λy₀，
∴x₀=-

4km

λ(1+2k2)

，y₀=

2m

λ(1+2k2)

∵P在椭圆上，
∴[-

4km

λ(1+2k2)

]2+2[

2m

λ(1+2k2)

]2=2
化简，得4m²（1+2k²）=λ²（1+2k²）²．
∵1+2k²≠0，
∴有4m²=λ²（1+2k²）．…①…7分
又∵△=16k²m²-4（1+2k²）（2m²-2）=8（1+2k²-m²），
∴由△＞0，得1+2k²＞m²．…②…8分
将①、②两式，∵m≠0，∴λ²＜4，
∴-2＜λ＜2且λ≠0．
综合（1）、（2）两种情况，得实数λ的取值范围是-2＜λ＜2；
（III）由题意，|MN|=

1+k2

|x₁-x₂|，点O到直线MN的距离d=

|m|

1+k2

∴S_△MNO=

1

2

|m||x1-x2|=

2 |m| 1+2k2-m2

1+2k2

当λ=

2

时，由4m²=λ²（1+2k²）可得2m²=1+2k²，
∴S△MNO=

2

2

．