Question

已知点B（5，0）和点C（-5，0），过点B的直线l与过点C的直线m相交于点A，设直线l的斜率为k₁，直线m的斜率为k_2：
（Ⅰ）如果k₁•k₂=

16

25

，求点A的轨迹方程；
（Ⅱ）如果k₁•k₂=a，其中a≠0，求点A的轨迹方程，并根据a的取值讨论此轨迹是何种曲线．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设点A（x，y），用x，y表示 k₁和k₂ ，利用 k₁•k₂=

16

25

，建立关于x，y的方程．
（Ⅱ） 用x，y表示 k₁和k₂ ，k₁•k₂=a，建立关于x，y的方程并进行化简，讨论a的取值范围，确定轨迹所代表的曲线．

解答：解：（Ⅰ）设点A（x，y），则 k₁=

y-0

x-5

，k₂=

y-0

x+5

，由 k₁•k₂=

16

25

，得

y

x-5

•

y

x+5

=

16

25

，
即

x2

25

-

y2

16

=1（y≠0）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 k₁=

y-0

x-5

，k₂=

y-0

x+5

，代入 k₁•k₂=a可得； 

y

x-5

•

y

x+5

=a，即

x2

25

-

y2

25a

=1（y≠0）．
①当a＞0，表示双曲线，去掉（5，0），（-5，0）两点．
②当-1＜a＜0，表示焦点在x轴上的椭圆．
③当 a=-1，表示圆．
④当a＜-1，表示焦点在y轴的椭圆．

点评：本题考查求点的轨迹方程的方法，以及由轨迹方程判断轨迹所代表的曲线，体现了分类讨论的数学思想．