Question

在某学校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投3次；在A处每投进一球得3分，在B处每投进一球得2分；如果前两次得分之和超过3分即停止投篮，否则投第三次。某同学在A处的命中率q1为0.25，在B处的命中率为q2。该同学选择先在A处投一球，以后都在B处投，用X表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为：

X 0 2 3 4 5 P 0.03 P1 P2 P3 P4 （1）求q2的值； （2）求随机变量X的均值E（X）； （3）试比较该同学选择都在B处投篮得分超过3分与选择上述方式投篮得分超过3分的概率的大小。

Answer 1

解：（1）由题设知，“X=0”对应的事件为“在三次投篮中没有一次投中”，
由对立事件和相互独立事件性质可知 P（X=0）=（1-q₁）（1-q₂）²=0.03。
（2）根据题意
P₁=P（X=2）=（1-q₁）C¹₂（1-q₂）q₂=0.75×2×0.2×0.8=0.24；
P₂=P（X=3）=q₁（1-q₂）²=0.25×（1-0.8）²=0.01；
P₃=P（X=4）=（1-q₁）q₂²=0.75×0.82=0.48；
P₄=P（X=5）=q₁q₂+q₁（1-q₂）q₂ =0.25×0.8+0.25×0.2×0.8=0.24
因此E（X）=0×0.03+2×0.24+3×0.01+4×0.48+5×0.24=3.63。
（3）用C表示事件“该同学选择第一次在A处投，以后都在B处投，得分超过3分”，
用D表示事件“该同学选择都在B处投，得分超过3分”，
则 P（C）=P（X=4）+P（X=5）=P₃+P₄=0.48+0.24=0.72
P（D）=q₂²+C₂¹q₂（1-q₂）q₂=0.8²+2×0.8×0.2×0.8=0.896
故P（D）＞P（C）
即该同学选择都在B处投篮得分超过3分的概率大于该同学选择第一次在A处投以后都在B处投得分超过3分的概率。