题目内容
如图,已知△AOB,∠AOB=,∠BAO=
,AB=4,D为线段AB的中点.若△AOC是△AOB绕直线AO旋转而成的.记二面角B-AO-C的大小为
.
(Ⅰ)当平面COD⊥平面AOB时,求的值;
(Ⅱ)当∈[
,
]时,求二面角C-OD-B的余弦值的取值范围.
(Ⅰ)如图,以O为原点,在平面OBC内垂直于OB的直线为x轴,OB,OA所在的直线分别为y轴,z轴建立空间直角坐标系O-xyz,则A (0,0,2),B (0,2,0), D (0,1,
),C (2sin
,2cos
,0).设
=(x,y,z)为平面COD的一个法向量,
由 得
,
取z=sin,则
=(
cos
,-
sin
,sin
).
因为平面AOB的一个法向量为=(1,0,0),
由平面COD⊥平面AOB得=0,
所以cos=0,即
=
. ………………7分
(Ⅱ)设二面角C-OD-B的大小为,由(Ⅰ)得当
=
时, cos
=0;
当∈(
,
]时,tan
≤-
,
cos=
=
=-
, 故-
≤cos
<0.
综上,二面角C-OD-B的余弦值的取值范围为[-,0].
解析

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