Question

已知直线l：y=x+m，m∈R．
（Ⅰ）若以点M（2，0）为圆心的圆与直线l相切于点P，且点P在y轴上，求该圆的方程；
（Ⅱ）若直线l关于x轴对称的直线为l′，问直线l′与抛物线C：x²=4y是否相切？说明理由．

Answer 1

分析：（I）利用待定系数法求本题中圆的方程是解决本题的关键，利用直线与圆相切的数学关系列出关于圆的半径的方程，通过求解方程确定出所求圆的半径，进而写出所求圆的方程；
（II）设出直线为l'的方程利用直线与抛物线的位置关系解决该题，将几何问题转化为代数方程组问题，注意体现方程有几个解的思想．

解答：解：（I）设所求圆的半径为r，则圆的方程可设为（x-2）²+y²=r²．由题意，所求圆与直线l：y=x+m相切于点P（0，m），则有

4+m2=r2 |2-0+m| 2 =r

，解得

m=2 r=2 2

，所以圆的方程为（x-2）²+y²=8．
（II）由于直线l的方程为y=x+m，所以直线l'的方程为y=-x-m，由

y=-x-m x2=4y

消去y得到x²+4x+4m=0，△=4²-4×4m=16（1-m）．
①当m=1时，即△=0时，直线l'与抛物线C：x²=4y相切；
②当m≠1时，即△≠0时，直线l'与抛物线C：x²=4y不相切．
综上，当m=1时，直线l'与抛物线C：x²=4y相切；当m≠1时，直线l'与抛物线C：x²=4y不相切．

点评：本题考查直线与圆的位置关系，直线与抛物线的位置关系，考查学生对直线与圆相切，直线与抛物线相切的问题的转化方法，考查学生的方程思想和运算化简能力，属于基本题型．